Question

20．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y₁=ax+b与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$交于A（1，3）和B（-3，-1）两点，观察图象可知：①当x=-3或1时，y₁=y₂；②当-3＜x＜0或x＞1时，y₁＞y₂；即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$的解集．
有这样一个问题：求不等式x³+4x²-x-4＞0的解集．
艾斯柯同学类比以上知识的研究方法，用函数与方程的思想对不等式的解法进行了探究，请将他下面的（2）（3）（4）补充完整：
（1）当x=0时，原不等式不成立：当x＞0时，原不等式可以转化为x²+4x-1＞$\frac{4}{x}$；当x＜0时，原不等式可以转化为x²+4x-1＜$\frac{4}{x}$．
（2）构造函数，画出图象
设y₃=x²+4x-1，y₄=$\frac{4}{x}$在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
双曲线y₄=$\frac{4}{x}$如图2所示，请在此坐标系中直接画出抛物线y₃=x²+4x-1（可不列表）；
（3）利用图象，确定交点横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y₃=y₄的所有x的值为-4，-1或1．
（4）借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x³+4x²-x-4＞0的解集为-4＜x＜-1或x＞1．

Answer 1

分析 （2）根据二次函数的解析式找出函数图象上的几点坐标，依此画出函数图象即可；
（3）观察函数图象，找出交点的横坐标，并代入函数解析式中求出y值进行验证；
（4）找出当x＜0时，抛物线在双曲线下方的部分；当x＞0时，抛物线在双曲线上方的部分，由此即可得出结论．

解答 解：（2）y₃=x²+4x-1对称轴是x=-2，顶点坐标（-2，-5），且开口向上，
与y轴交点的坐标分别是（0，-1），（0，-1）关于对称轴的对称点是（-4，-1）
用三点法作抛物线如图所示．
（3）观察函数图象可知：交点的横坐标分别为-4，-1或1．
当x=-4时，y₃=x²+4x-1=-1，y₄=$\frac{4}{x}$=-1；
当x=-1时，y₃=x²+4x-1=-4，y₄=$\frac{4}{x}$=-4；
当x=1时，y₃=x²+4x-1=4，y₄=$\frac{4}{x}$=4．
∴满足y₃=y₄的所有x的值为：-4，-1 或1．
故答案为：-4，-1 或1．
（4）观察函数图象可知：当-4＜x＜-1时，二次函数y₃=x²+4x-1的图象在反比例函数y₄=$\frac{4}{x}$的图象的下方；当x＞1时，二次函数y₃=x²+4x-1的图象在反比例函数y₄=$\frac{4}{x}$的图象的上方，
∴不等式x³+4x²-x-4＞0的解集为：-4＜x＜-1或x＞1．
故答案为：-4＜x＜-1或x＞1．

点评 本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及反比例函数的图象，解题的关键是：（2）画出二次函数y₃=x²+4x-1的图象：（3）观察函数图象，找出交点的横坐标；（4）找出当x＜0时，抛物线在双曲线下方的部分；当x＞0时，抛物线在双曲线上方的部分．