Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆．

（1）求⊙O的半径；

（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，

 

则AD=AF，BD=BE，CE=CF．

∵⊙O为△ABC的内切圆，

∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．

∵∠C=90°，

∴四边形CEOF是矩形，

∵OE=OF，

∴四边形CEOF是正方形．

设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，

∴AB==5cm．

∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，

∴4﹣r+3﹣r=5，

解得 r=1，即⊙O的半径为1cm．

 

（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G．

∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．

∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t，

∴PG=，BG=．

若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切．

①当⊙P与⊙O外切时，

 

如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H．

∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，

∴四边形PHEG是矩形，

∴HE=PG，PH=CE，

∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣．

在Rt△OPH中，

由勾股定理，，

解得 t=．

②当⊙P与⊙O内切时，

如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M．

∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，

∴四边形OEGM是矩形，

∴MG=OE，OM=EG，

∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣，

在Rt△OPM中，

由勾股定理，，解得 t=2．

综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=s或t=2s．