Question

3．矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是BC边上的一点，PE⊥BD，PF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：PE+PF为定值．

Answer 1

分析 连接OP，利用勾股定理列式求出AC，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OB、OC，然后根据S_△BOC=S_△BOP+S_△COP列方程求解即可．

解答 证明：连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，∴OB=OC，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OB=OC=$\frac{1}{2}$×10=5，
∵S_△BOC=S_△BOP+S_△COP，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×5•PE+$\frac{1}{2}$×5•PF，
解得：PE+PF=4.8．
∴PE+PF为定值．

点评 本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理；熟记矩形的性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．