Question

7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=-x²+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？

Answer 1

分析 设D（x，-x²+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×5×（-x²+6x-3）=-$\frac{5}{2}$（x-3）²+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．

解答 解：∵D是抛物线y=-x²+6x上一点，
∴设D（x，-x²+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×5×（-x²+6x-3）=-$\frac{5}{2}$（x-3）²+15，
∵-$\frac{5}{2}$＜0，
∴S_△BCD有最大值，最大值为15，

点评 本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．