Question

11．如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E
（1）证明点C在圆O上；
（2）求tan∠CDE的值；
（3）求圆心O到弦ED的距离．

Answer 1

分析 （1）如图1，连结CO．先由勾股定理求出AC=10，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，∠C=90°，那么OC为Rt△ACD斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=$\frac{1}{2}$AD=r，即点C在圆O上；
（2）如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD=90°．根据同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，利用正切函数定义求出tan∠ACB=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，则tan∠CDE=tan∠ACB=$\frac{3}{4}$；
（3）如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，则OG∥AE，且OG=$\frac{1}{2}$AE．易证△ABC∽△CFD，根据相似三角形对应边成比例求出CF=$\frac{72}{5}$，那么BF=BC+CF=$\frac{112}{5}$．再证明四边形ABFE是矩形，得出AE=BF=$\frac{112}{5}$，所以OG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{56}{5}$．

解答 （1）证明：如图1，连结CO．
∵AB=6，BC=8，∠B=90°，
∴AC=10．
又∵CD=24，AD=26，10²+24²=26²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°．
∵AD为⊙O的直径，
∴AO=OD，OC为Rt△ACD斜边上的中线，
∴OC=$\frac{1}{2}$AD=r，
∴点C在圆O上；

（2）解：如图2，延长BC、DE交于点F，∠BFD=90°．
∵∠BFD=90°，
∴∠CDE+∠FCD=90°，
又∵∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠FCD=90°，
∴∠CDE=∠ACB．
在Rt△ABC中，tan∠ACB=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠CDE=tan∠ACB=$\frac{3}{4}$；

（3）解：如图3，连结AE，作OG⊥ED于点G，则OG∥AE，且OG=$\frac{1}{2}$AE．
易证△ABC∽△CFD，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{6}{CF}$=$\frac{10}{24}$，
∴CF=$\frac{72}{5}$，
∴BF=BC+CF=8+$\frac{72}{5}$=$\frac{112}{5}$．
∵∠B=∠F=∠AED=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AE=BF=$\frac{112}{5}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{56}{5}$，
即圆心O到弦ED的距离为$\frac{56}{5}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，余角的性质，锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．准确作出辅助线，利用数形结合是解题的关键．