Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：

二次函数综合题。

分析：

(1)根据抛物线y＝经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可；

(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可．

(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可；

(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON＝，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．

解答：

解：(1)∵抛物线y＝经过点B(0，4)

∴c＝4，

∵顶点在直线x＝上，

∴；

∴所求函数关系式为；

(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，

∴AB＝，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，

∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，

当x＝5时，y＝，

当x＝2时，y＝，

∴点C和点D都在所求抛物线上；

(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，

设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，

则，

解得：，

∴，

当x＝时，y＝，

∴P()，

(4)∵MN∥BD，

∴△OMN∽△OBD，

∴即得ON＝，

设对称轴交x于点F，

则(PF＋OM)•OF＝(＋t)×，

∵，

()×＝，

S＝(－)，

＝－(0＜t＜4)，

S存在最大值．

由S＝－(t－)2＋，

∴当S＝时，S取最大值是，

此时，点M的坐标为(0，)．

点评：

此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．