Question

4．如图，抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（0，-2）三点
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC上的任意一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求出线段PQ长度的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若直线m过原点O，M为直线m上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线m的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），把（0，-2）代入求出a即可解决问题．
（2）由题意直线BC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-2，设P（a，$\frac{2}{3}$a-2），则Q（a，-$\frac{2}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a-2），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）如图2中，当直线m与以AB为直径的⊙K相切时，直线m上存在三个点M，使得以A、B、M为顶点所作的三角形为直角三角形，作MH⊥OB于H．想办法求出点M₂的坐标即可解决问题，注意有两解．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），把（0，-2）代入得到a=-$\frac{2}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$（x-1）（x-3），即y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2．

（2）如图1中，设直线BC的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，

∴直线BC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-2，
设P（a，$\frac{2}{3}$a-2），则Q（a，-$\frac{2}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a-2），
∴PQ=-$\frac{2}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a-2-$\frac{2}{3}$a+2=-$\frac{2}{3}$a²+2a=-$\frac{2}{3}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴a=$\frac{3}{2}$时，线段PQ有最大值，最大值为$\frac{3}{2}$．

（3）如图2中，当直线m与以AB为直径的⊙K相切时，直线m上存在三个点M，使得以A、B、M为顶点所作的三角形为直角三角形，作MH⊥OB于H．

在Rt△OM₂K中，KM₂=1，OK=2，
∴OM₂=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，sin∠M₂OK=$\frac{1}{2}$，
∴∠M₂OK=30°，
∴M₂H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OH=$\frac{3}{2}$，
∴M₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴直线m的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
根据对称性直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x也满足条件，
∴直线m的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、直线与圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构造辅助圆解决直接问题，属于中考压轴题．