如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC=2.CD⊥AB于点D．动点P从点A出发.沿A→C 以1cm/s的速度向终点C运动.点P不与A.C重合．过点P作PQ∥BC交折线AD-DC于点Q.以PQ为边向PQ右侧作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分图形的面积为S(cm2).点P运动的时间为t(s)．(1)当点M在CD边上时.求t的值．(2)用含t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，CD⊥AB于点D．动点P从点A出发，沿A→C 以1cm/s的速度向终点C运动，点P不与A、C重合．过点P作PQ∥BC交折线AD-DC于点Q，以PQ为边向PQ右侧作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点M在CD边上时，求t的值．
（2）用含t的代数式表示PQ的长．
（3）求S与t之间的函数关系式．

分析（1）根据点M在CD边上，得出△MNC与△APQ均为等腰直角三角形，再用含t的代数式表示AC的长，最后根据AC的长为2，列出方程求得t的值；
（2）分两种情况进行讨论，点Q在AD上和点Q在CD上，根据等腰直角三角形的性质，分别求得PQ的长；
（3）分三种情况进行讨论，当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，正方形PQMN与△ACD重叠部分为正方形PQMN本身，当$\frac{2}{3}$＜t≤1时，正方形PQMN与△ACD重叠部分为五边形EFNPQ，当1＜t＜2时，正方形PQMN与△ACD重叠部分为等腰直角三角形CPQ，分别求得S与t之间的函数关系式．

解答解：（1）如图1，当点M在CD边上时，∠NCM=∠NMC=∠A=∠AQP=45°，
∴△MNC与△APQ均为等腰直角三角形，
∴CN=NM=PN=PQ=AP，即CN=PN=AP，
∵AP=1×t=t，
∴AC=3t，即2=3t，
解得t=$\frac{2}{3}$；

（2）①当0＜t≤1时，点Q在AD上，此时，△APQ为等腰直角三角形，
∵AP=t，
∴PQ=t；
②当1＜t＜2时，点Q在CD上，此时，△CPQ为等腰直角三角形，
∵AP=t，AC=2，
∴CP=PQ=2-t；

（3）分三种情况：
①如图2，当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，正方形PQMN与△ACD重叠部分为正方形PQMN本身，
由AP=PQ=t可得，S=t²；
②如图3，当$\frac{2}{3}$＜t≤1时，正方形PQMN与△ACD重叠部分为五边形EFNPQ，
由AP=PN=t，AC=2可得，CN=NF=2-2t，
∴FM=EM=t-（2-2t）=3t-2，
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△EFM=t²-$\frac{1}{2}$（3t-2）²=-$\frac{7}{2}$t²+6t-2，
③如图4，当1＜t＜2时，正方形PQMN与△ACD重叠部分为等腰直角三角形CPQ，
由AP=t，AC=2可得，CP=2-t，
∴S=$\frac{1}{2}$（2-t）²=$\frac{1}{2}$t²-2t+2．
综上，S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}（0＜t≤\frac{2}{3}）}\\{-\frac{7}{2}{t}^{2}+6t-2（\frac{2}{3}＜t≤1）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-2t+2（1＜t＜2）}\end{array}\right.$．

点评本题主要考查了正方形的性质与等腰直角三角形的性质，属于四边形综合题．解题时需要根据题意进行分类讨论，在运用分类思想时要做到不遗漏、不重复．此外，要注意等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．

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