Question

2．已知关于x的方程x²-6x+3m-2=0
（1）若方程有两个正根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个根都大于1，求m的取值范围；
（3）若方程的两个根一个大于1，一个小于1，求m的取值范围；
（4）若方程的两个根分别位于区间（0，1）和（4，5）上，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由△=36-4（3m-2）≥0，得到m≤$\frac{11}{3}$，设方程的两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=6，x₁•x₂=3m-2，由于方程有两个正根，于是得到x₁•x₂=3m-2＞0，即可得到结果；
（2）由于方程的两个根都大于1，于是得到（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1＞0，解不等式3m-2-6+1＞0，即可得到m的取值范围：
（3）一个根大于1，另一个根小于1，即方程两根与1的差的乘积是负数，根据一元二次方程根与系数的关系表示出两根的和与两根的积，根据（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，即可得到关于m的方程，即可求得m的值，
（4）由方程x²-6x+3m-2=0两个根分别位于区间（0，1）和（4，5）上，得到对应的方程的两个根分别位于区间（0，1）和（4，5）各有一个零点，于是得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）•f（1）＜0}\\{f（4）•f（5）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（3m-2）•（3m-7）＜0}\\{（3m-10）（3m-7）＜0}\end{array}\right.$，解得m的取值范围即可．

解答 解：∵△=36-4（3m-2）≥0，
∴m≤$\frac{11}{3}$，
设方程的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=6，x₁•x₂=3m-2，
（1）∵方程有两个正根，
∴x₁•x₂=3m-2＞0，
∴m＞$\frac{2}{3}$，
∴若方程有两个正根，m的取值范围：$\frac{2}{3}$＜m≤$\frac{11}{3}$，
（2）∵若方程的两个根都大于1，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1＞0，
∴3m-2-6+1＞0，
∴m＞$\frac{7}{3}$，
∴若方程的两个根都大于1，m的取值范围：$\frac{7}{3}$＜m≤$\frac{11}{3}$；
（3）设两根为x₁＞1，x₂＜1．
那么x₁-1＞0，x₂-1＜0．
∴（x₁-1）（x₂-1）＜0．
x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0．
∴3m-2-6+1＜0，
∴m$＜\frac{7}{3}$；
（4）设f（x）=x²-6x+3m-2=0，则f（x）=0的两个根分别属于（0，1）和（4，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）•f（1）＜0}\\{f（4）•f（5）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（3m-2）•（3m-7）＜0}\\{（3m-10）（3m-7）＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}$＜m＜$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，根据题意正确的列出不等式是解题的关键．