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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
    （1）求证：△DHQ∽△ABC；
    （2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
    （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
    分析：（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；
    （2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式，再利用二次函数的最值即可求得最大值；
    （3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．
    解答：（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
    ∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，
    ∴∠HDQ=∠A，
    ∴△DHQ∽△ABC．

    精英家教网（2）解：①如图1，当0＜x≤2.5时，
    ED=10-4x，QH=AQtanA=
    3
    4
    x，
    此时y=
    1
    2
    （10-4x）×
    3
    4
    x=-
    3
    2
    x2    +
    15
    4
    x，
    当x=
    5
    4
    时，最大值y=
    75
    32
    ，
    ②如图2，当2.5＜x≤5时，
    ED=4x-10，QH=AQtanA=
    3
    4
    x，
    此时y=
    1
    2
    （4x-10）×
    3
    4
    x=
    3
    2
    x2    -
    15
    4
    x=
    3
    2
    （x-
    5
    4
    ）2-
    75
    32
    ．
    当2.5＜x≤5时，y有最大值，
    当x=5时，最大值为y=
    75
    4
    ，
    ∴y与x之间的函数解析式为y=
    -
    3
    2
    x2+
    15
    4
    x(0＜x≤2.5) 
    3
    2
    x2-
    15
    4
    x (2.5＜x≤5)
    ，
    则当2.5＜x≤5时，y有最大值，其最大值是y=
    75
    4
    ．
    综上可得，y的最大值为
    75
    4
    ．

    （3）解：①如图1，当0＜x＜2.5时，
    若DE=DH，∵DH=AH=
    QA
    cosA
    =
    5
    4
    x，DE=10-4x，
    ∴10-4x=
    5
    4
    x    ，x=
    40
    21
    ．
    ∵∠EDH＞90°，
    ∴EH＞ED，EH＞DH，
    即ED=EH，HD=HE不可能；
    ②如图2，当2.5＜x≤5时，
    若DE=DH，4x-10=
    5
    4
    x    ，x=
    40
    11
    ；
    若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；
    若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
    又∵点A、D关于点Q对称，
    ∴∠A=∠ADH，
    ∴△EDH∽△HDA，
    ∴
    ED
    DH
    =
    DH
    AD
    ，x=
    320
    103
    ，
    ∴当x的值为
    40
    21
    ，
    40
    11
    ，5，
    320
    103
    时，△HDE是等腰三角形．
    点评：本题综合考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等问题，注意分不同位置，边长相等的不同情况探讨三角形为等腰三角形的条件．
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    精英家教网如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=
    34
    ，D是BC点边上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=18．
    （1）求BC的长（2）求CE的长．

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    如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（　　）

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    （2）若⊙0的半径为r，△ABC的周长为ι，求△ABC的面积．

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    如图，Rt△ABC中，∠ABC=90゜，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，BC=4．
    （1）求sinα的值； 
    （2）求AD的长．

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