Question

已知二次函数的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

    (1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

    (2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．若点P是边EF或边FG上的任意一点，求证四条线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形；

    (3)如图②，正方形EFGH向左平移个单位长度时，正方形EFGH上是否存在一点P（包括正方形的边界），使得四条线段PA、PB、PC、PD能够构成平行四边形？如果存在，请求出的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）不能构成平行四边形。理由见解析（3）

【解析】解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0解得x₁=2，x₂=4；

令x=0，解得y=8a

∴点A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），该抛物线对称轴为直线x=3

∴OA=2

如图①设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1

由题意得=OA=2

∴=2AM，∴∠ =60°

∴∠OAC=∠ =60°

∴OC=·AO=2，即8a=2，∴a=.    …………………………（3分）

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结果同样成立.

（I）如图②

设P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM.

∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，

∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB.

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形. …………………………（3分）

（II）设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），

点F的坐标是（4，3）点G的坐标是（5，3）.

∴FB=3，GB=，∴3≤PB＜，

∵PC≥4，∴PC＞PB

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形. …………………………（3分）

（3）

（1）令y=0，解得x₁=2，x₂=4，令x=0，解得y=8a,得出点A、B、C的坐标，求得该抛物线对称轴为直线x=3，再根据∠OAC==60°得出AO ,从而求出a

（2）分两种情况进行讨论，一种设P是边EF上的任意一点（不与点E重合）可得PC＞PB. 从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形；同理，另一种设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），也可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形；

（3）先求出PA=PB,再由PC=PD,列出关于t与a的方程，从而求出a的值，即可求出答案