Question

如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取4

3

=7，2

6

=5）

Answer 1

分析：（1）易得第一次落地时抛物线的顶点，可设所求的函数解析式为顶点式，把（0，1）代入即可求得所求的函数解析式；
（2）易得第二次落地时的抛物线的二次项的系数与第一次落地时抛物线的二次项系数相同，顶点的纵坐标为第一个函数顶点纵坐标的一半，用顶点式设出所求的函数解析式，把C坐标代入后求得第二次落地时的抛物线解析式，让函数值等于0可得D的横坐标，减去OB的距离即为跑的距离．

解答：解：（1）如图，设第一次落地时，
抛物线的表达式为y=a（x-6）²+4．
由已知：当x=0时y=1．
即1=36a+4，
∴a=-

1

12

．
∴表达式为y=-

1

12

（x-6）²+4；

（2）由题意得：0=-

1

12

（x-6）²+4
解得：x₁=4

3

+6≈13，x2=-4

3

+6＜0（舍去），
∴点C坐标为（13，0）．
设第二次落地的抛物线为y=-

1

12

（x-k）²+2．
将C点坐标代入得：0=-

1

12

（13-k）²+2．
解得：k₁=13-2

6

＜13（舍去），k₂=6+4

3

+2

6

≈18．
∴y=-

1

12

（x-18）²+2．
0=-

1

12

（x-18）²+2．
x₁=18-2

6

（舍去），x₂=18+2

6

≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
答：运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17米．

点评：考查二次函数的应用；判断出2个二次函数的顶点坐标是解决本题的关键；用到的知识点为：若二次函数的形状相同，则二个二次函数的二次项系数相同．