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11.某公司开发了一种新产品,现要在甲地或者乙地进行销售,设年销售量为x(件),其中x>0.若在甲地销售,每件售价y(元)与x之间的函数关系式为y=-$\frac{1}{10}$x+100,每件成本为20元,设此时的年销售利润为w(元)(利润=销售额-成本);
若在乙地销售,受各种不确定因素的影响,每件成本为a元(a为常数,15≤a≤25 ),每件售价为106元,销售x(件)每年还需缴纳$\frac{1}{10}{x^2}$元的附加费,设此时的年销售利润为w(元)(利润=销售额-成本-附加费);
(1)当a=16时且x=100时,w=8000元;
(2)求w与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围),并求x为何值时,w最大以及最大值是多少?
(3)为完成x件的年销售任务,请你通过分析帮助公司决策,应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大.

分析 (1)利用利润=销售额-成本-附加费得出w的函数解析式为w=(106-a)x-$\frac{1}{10}$x2,代入数值求得答案即可;
(2)利用利润=销售额-成本求得w与x之间的函数关系式,利用配方法求得最值即可;
(3)先计算得到w-y=(26-a)x,而15≤a≤25,则w-y>0,接着比较两个函数的最大值,然后决定选择在甲地还是在乙地.

解答 解:(1)w=(106-a)x-$\frac{1}{10}$x2
当a=16时且x=100时,w=90×100-1000=8000(元),
故答案为:8000;

(2)w=(y-20)x=(-$\frac{1}{10}$x+100-20)x=-$\frac{1}{10}$x2+80x=-$\frac{1}{10}$(x-400)2+16000,
答:当x=400时,w最大以,最大值是16000;

(3)w-y=(106-a)x-$\frac{1}{10}$x2-(-$\frac{1}{10}$x2+80x)=(26-a)x,
而15≤a≤25,
∴w-y>0,
对于w=-$\frac{1}{10}$x2+(106-a)x,
当x=-$\frac{106-a}{2×(-\frac{1}{10})}$=530-5a时,w最大,最大值=$\frac{0-(106-a)^{2}}{4×(-\frac{1}{10})}$=$\frac{5}{2}$(106-a)2
∵15≤a≤25,
∴a=15时,x=455,w乙最大值=$\frac{5}{2}$×(106-15)2=20702.5(元),
a=25时,x=405,w乙最大值=$\frac{5}{2}$×(106-25)2=16402.5(元),
而x=400时,w甲最大值=16000(元),
∴选择在乙地销售才能使该公司所获年利润最大.

点评 本题考查了二次函数的应用:利用二次函数解决利润问题,在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润,最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.

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