Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝的图象经过点B．

（1）求一次函数和反比例函数的关系式；

（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集；

（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，直接写出点M的坐标和AM+BM的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x﹣，y＝﹣；（2）﹣3＜x＜0；（3）点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为3．

【解析】

（1）过点B作BF⊥x轴于点F，由△AOC≌△CFB求得点B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式；

（2）当x＜0时，求出一次函数值y＝kx+b小于反比例函数y＝的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案．

（3）根据轴对称的性质，找到点A关于x的对称点A′，连接BA′，则BA′与x轴的交点即为点M的位置，求出直线BA′的解析式，可得出点M的坐标，根据B、A′的坐标可求出AM+BM的最小值．

解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，

∵点C坐标为(﹣1,0)，点A坐标为（0,2）．

∴OA＝2，OC＝1，

∵∠BCA＝90°，

∴∠BCF+∠ACO＝90°，

又∵∠CAO+∠ACO＝90°，

∴∠BCF＝∠CAO，

在△AOC和△CFB中

∴△AOC≌△CFB（AAS），

∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，

∴点B的坐标为（﹣3，1），

将点B的坐标代入反比例函数解析式可得： ，

解得：k＝﹣3，

故可得反比例函数解析式为y＝﹣；

将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：，

解得：．

故可得一次函数解析式为．

（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，＜0的解集为：﹣3＜x＜0；

（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M，

∵A（0，2），作点A关于x轴的对称点A′，

∴A′（0，﹣2），

设直线BA′的解析式为y＝ax+b，将点A′及点B的坐标代入可得：

解得：，

故直线BA′的解析式为y＝﹣x﹣2，

令y＝0，可得﹣x﹣2＝0，

解得：x＝﹣2，

故点M 的坐标为（﹣2，0），

AM+BM＝BM+MA′＝BA′＝．

综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为．