Question

如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝60°，∠BEQ＝45°；在点F处测得∠AFP＝45°，∠BFQ＝90°，EF＝2km．

（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果保留根号）．

Answer 1

（1）AB=AE，理由见解析；（2）（）km．

试题分析：（1）根据SAS即可证明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足为H．设AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函数表示出HE与HF，从而可得到关于x的方程，解方程即可得解．
试题解析：（1）相等．
∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，
∴∠EBF=∠BEQ=30°，
∴EF=BF，
又∵∠AFP=60°，
∴∠BFA=60°．
在△AEF与△ABF中，
∵，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB=AE；
（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．

设AE=xkm，
则AH=xsin60°km，HE=xcos60°km，
∴HF=HE+EF=（xcos60°+2）km，
Rt△AHF中，AH=HF•tan45°，
∴AH=HF，
即：xsin60°= xcos60°+2
解得：x=，
即AB=AE=（）km．
答：两个岛屿A与B之间的距离为（）km．
考点: 解直角三角形的应用-方向角问题．