如图.平面直角坐标系中.点O为坐标原点.直线y=33x+23与x轴.y轴分别交于点A.B.直线BC垂直于直线AB.交x轴于点C.点D从A点出发.以每秒3个单位向终点原点运动,与此同时点Q从点C出发.以每秒2个单位沿着射线BC方向运动.设运动时间为t秒.点D到达终点时都停止运动．(1)求直线BC的解析式,(2)作DP垂直x轴交直线AB于点P.连结PQ交x轴于E点.取EQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=

x+2

与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC垂直于直线AB，交x轴于点C，点D从A点出发，以每秒3个单位向终点原点运动；与此同时点Q从点C出发，以每秒2个单位沿着射线BC方向运动，设运动时间为t秒，点D到达终点时都停止运动．
（1）求直线BC的解析式；
（2）作DP垂直x轴交直线AB于点P，连结PQ交x轴于E点，取EQ的中点M，过M点作EQ的垂线交y轴于点N，求线段0N的长；
（3）作出点N关于直线PQ的对称点F，连结PF交BC于点H，在P、Q的运动过程中，是否存在△PEH是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：探究型

分析：（1）求得BC的坐标，再利用待定系数法求得直线BC的解析式；
（2）先求得△PGE≌△QCE，得到△N′QE是等边△，连接N′M，进一步得N′M是EQ的中位线，即N′就是N，再连接BE，有BE=EQ，BE=EN，ON=OB，即线段ON的长为2

；
（3）分两种情况：一、即E和O重合．此时t=1；二、求得PH直线的斜率为-

．进一步求得此时t=

．

解答：解：（1）在y=

x+2

中令x=0，解得：y=2

，则B的坐标是：（0，2

），令y=0解得：x=3，则A的坐标是：（-3，0）．
则OA=3，OB=2

，
∵tan∠BAC=tan∠OBC=

，
∴OC=2，
∴C的坐标是（2，0），
设直线BC的解析式是：y=kx+b，则

b=2

2k+b=0

，
解得：

k=-

b=2

，
则BC的解析式是：y=-

x+2

；
（2）作PG∥BC，交AC于G，则

PG=2DG，AG=2PG，
∴AD=AG-DG=4DG-DG=3DG．
∴AD：PG=3DG：2DG=3：2．
而AD：CQ=3：2，
∴PG=CQ．再由PG∥CQ，
∴△PGE∽△QCE．
∴△PGE≌△QCE，即PE=EQ．
过直角△BQP作外接圆I，设圆I与y轴相交于点N，′
则∠PN′Q=90°，∠N′QP=∠PBN′=60°．
∴△N′QE是等边△，连接N′M，
∵M是EQ中点，
∴N′M是EQ的中位线，即N′就是N，再连接BE，有BE=EQ，
∴BE=EN，
∴ON=OB，即线段ON的长为2

；
（3）由（2）易知△NPF是等边△，∠EPH=∠EPN=30^°，
若∠PEH=90°，则P、B、H、E四点共圆，
∴∠HBE=∠HPE=30°，即E和O重合．
即PO=QO=BO=2

，即P是AB中点．
∴D是AO中点，即|AO|=3．
此时t=1；
若∠PHE=90°，∵∠EPH=30°，
∴∠HEP=∠NEQ=60°．
∴N，E，H三点共线．
设点E坐标为（a，0），则NE直线方程为y=

-2

，
结合BC直线方程y=-

x+2

，可得
点H坐标为(

2+a

，

(2-a)

2+a

)，
又∵|OE|=a，
∴|CE|=2-a，|CG|=2|CE|=4-2a，
∴|AG|=|AC|-|CG|=8-4+2a=4+2a．
∴|AD|=3|AG|/4=3+

．
∴点D的坐标为（

-3，0）．
则点P的坐标为（

-3，

）．
由HP两点坐标即可得PH直线的斜率

(2-a)

2+a

-3-

2+a

，
又∵PH⊥NH，直线NH斜率为

，
∴PH直线的斜率为-

．
即

(2-a)

2+a

-3-

2+a

．
化简得（a²+12）（3a-2）=0
∴a=

，即|AD|=3+

=4，
∴此时t=

．
综上知，仅当t=1或

时，△PEH是直角三角形．

点评：本题主要考查了一次函数的综合应用，综合性强，难度较大．

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