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【题目】如图,点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点,连接PA,过点PPEPABC的延长线于点E,过点EEFBP于点F,则下列结论中:PAPECEPDBFPDBDSPEFSADP正确的是___(填写所有正确结论的序号)

【答案】①②③

【解析】

①解法一:如图1,作辅助线,构建三角形全等和平行四边形,证明,得BG=PE,再证明四边形ABGP是平行四边形,可得结论;
解法二:如图2,连接AE,利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形,可得结论;
②如图3,作辅助线,证明四边形DCGP是平行四边形,可得结论;
③证明四边形OCGF是矩形,可作判断;
④证明,则,可作判断.

解法一:如图1,在EF上取一点G,使FGFP,连接BGPG

EFBP

∴∠BFE90°,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠FBC=∠ABD45°,

BFEF

在△BFG和△EFP中,

∴△BFG≌△EFPSAS),

BGPE,∠PEF=∠GBF

∵∠ABD=∠FPG45°,

ABPG

APPE

∴∠APE=∠APF+FPE=∠FPE+PEF90°,

∴∠APF=∠PEF=∠GBF

APBG

∴四边形ABGP是平行四边形,

APBG

APPE

解法二:如图2,连接AE,∵∠ABC=∠APE90°,

ABEP四点共圆,

∴∠EAP=∠PBC45°,

APPE

∴∠APE90°,

∴△APE是等腰直角三角形,

APPE

正确;

如图3,连接CG,由知:PGABPGAB

ABCDABCD

PGCDPGCD

∴四边形DCGP是平行四边形,

CGPDCGPD

PDEF

CGEF,即∠CGE90°,

∵∠CEG45°,

正确;

如图4,连接ACBDO,由知:∠CGF=∠GFD90°,

∵四边形ABCD是正方形,

ACBD

∴∠COF90°,

∴四边形OCGF是矩形,

CGOFPD

正确;

如图4中,在△AOP和△PFE中,

∴△AOP≌△PFEAAS),

不正确;

本题结论正确的有:①②③

故答案为:①②③

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