Question

（2012•开平区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=8cm，以点P为圆心，以3cm长为半径的圆在直线BC上滑动．
（1）如图，连接PA，若PA=PB时，请你判断⊙P与直线AC的位置关系，并说明理由；
（2）当⊙P与直线AB的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形时，求PC的长；
（3）设PC=x，请你直接写出⊙P与直线AB相交时x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ACP中，利用勾股定理即可得到一个关于PC的方程，解方程即可求解；
（2）分圆心P在线段BC上，和圆心P在线段CB的延长线上，两种情况进行讨论，设⊙P交AB于点E、F，过点P作PH⊥EF，垂足为H，由△BHP∽△BCA，可以得到对应边的比相等，即可求得；
（3）根据相似三角形的性质，求得当直线与圆相交时x的值，根据直线与圆相交时，P到直线AB的距离小于半径即可确定．

解答：解：（1）在Rt△ACP中，
∵AC=4cm，BC=8cm，PA=PB
∴PC²+AC²=PA²
即：PC²+16=（8-PC）²…（1分）
解得：PC=3
∴⊙P与直线AC相切…（2分）

（2）分两种情况讨论：
①当圆心P在线段BC上，设⊙P交AB于点E、F
过点P作PH⊥EF，垂足为H，…（3分）
由△BHP∽△BCA得…（4分）

PH

AC

=

BP

AB

把AC=4，AB=4

5

，PH=

3

2

3

代入比例式得：PB=

3

2

15

…（5分）
∴PC=8-

3

2

15

…（6分）
②当圆心P在线段CB的延长线上时：
同理可得：PB=

3

2

15

…（7分）
∴OP=8+

3

2

15

…（8分）
∴当PC=8-

3

2

15

或8+

3

2

15

时，以⊙P与直线AB的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．

（3）⊙P与直线AB相交时x的取值范围为：8-3

5

＜x＜8+3

5

．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，以及相似三角形的判定与性质，正确理解△BHP∽△BCA是关键．