Question

2．定义：到定点M（a，b）的距离等于定长的点的集合是圆，设P（x，y）为圆上任意一点，则有方程（x-a）²+（y-b）²=R²（R为P到M的距离）．已知实数x，y满足方程：x²+y²-8x+6y+24=0．
（1）求（x-2）²+y²的最大值与最小值；
（2）$\frac{y}{x}$的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到（x-2）²+y²的几何意义为点（x，y）到定点（2，0）的距离的平方，利用数形结合即可得到结论；
（2）$\frac{y}{x}$相当与（0，0）与圆上的点相连的直线的斜率，根据直线与圆相切时取最值，解出$\frac{y}{x}$的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵x²+y²-8x+6y+24=0，
∴（x-4）²+（y+3）²=1，即点（x，y）在圆心C为（4，-3），半径为1的圆上，
设z=（x-2）²+y²，则z的几何意义为圆上的点P（x，y）到定点A（2，0）的距离平方，
∴|AC|=$\sqrt{（2-4）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴圆上点到点到A的距离的最大值为$\sqrt{13}$+1，最小值为$\sqrt{13}$-1；

∴（x-2）²+y²的最大值是$\sqrt{13}$+1，最小值是$\sqrt{13}$-1；

（2）∵实数x，y满足方程：x²+y²-8x+6y+24=0，
∴（x-4）²+（y+3）²=1，即点（x，y）在圆心C为（4，-3），半径为1的圆上，
∴$\frac{y}{x}$相当于（0，0）与圆上的点相连的直线斜率，
设OA的解析式为y=kx，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-8x+6y+24=0}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y得到（1+k²）x²+（6k-8）x+24=0，
由题意△=0．
∴（6k-8）²-96（1+k²）=0，
解得k=$\frac{-12±\sqrt{6}}{15}$，
∴$\frac{y}{x}$的最大值为$\frac{-12+\sqrt{6}}{15}$，最小值为$\frac{-12-\sqrt{6}}{15}$．

点评 本题配方法的应用、圆的方程、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．