Question

如图，抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，且OA＝OB．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以 点M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D. 设AD＝m（m＞0），BC＝n，求n与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当∠PMQ的一边恰好经过该抛物线与x轴的另一个交点时，求∠PMQ的另一边所在直线的解析式．

Answer 1

（1）；（2）；（3）或

解析试题分析：（1）由抛物线得B（0，-4），再结合OA＝OB，且点A在x轴正半轴上，即可求得点A的坐标，从而求得结果；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，即得∠ADM+∠AMD＝135°，由∠CMD＝45°可得∠AMD+∠BMC＝135°，证得△ADM∽△BMC，根据相似三角形的性质可得，再根据M为AB的中点可得AM＝BM＝，即可求得所求的函数关系式；
（3）由即可求得抛物线与x轴另一个交点为，由点A、B的坐标可求得AB中点M的坐标，再分①当MP经过点（-2，0）时，②当MQ经过点（-2，0）时，这两种情况求解即可.
（1）由抛物线得B（0，-4），
∵OA＝OB，且点A在x轴正半轴上，
∴A（4，0）
将A（4，0）代入得
，解得
∴抛物线的解析式为；
（2）∵OA＝OB=4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，
∴∠ADM+∠AMD＝135°
∵∠CMD＝45°
∴∠AMD+∠BMC＝135°，
∴∠ADM＝∠BMC， 
∴△ADM∽△BMC，
∴，则，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝，
∴就是所求的函数关系式；
（3）由
∴抛物线与x轴另一个交点为（-2，0），
∵A（4，0），B（0，-4），
∴AB中点M的坐标为（2，-2）
①当MP经过点（-2，0）时，MP的解析式为
∵MP交y轴于点C，
∴C（0，-1），则n=BC＝OB－OC＝3
由，得
∴OD=OA-AD=，则D（，0）
∵MQ经过M（2，-2）、D（，0），
∴MQ的解析式为；
②当MQ经过点（-2，0）时，MQ的解析式为
此时，点D的坐标为（-2，0），m=AD=6
∴，即BC＝
∴OC＝OB－BC＝，则C（0，－）
∵MP经过M（2，-2）、C（0，－），
∴MP的解析式为.
考点：二次函数的综合题
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.