Question

两个大小不同的等腰直角三角板，如图1所示：

（1）若两个等腰直角三角板如图2放置，求证：EC⊥BD．
（2）若两个等腰直角三角板如图3放置，使B、C、D在同一条直线上，连接EC交AD于点M，你认为EC与BD是否仍然垂直？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出AE=AD，AM=AB，∠EAD=∠MAB=90°，证△EAM≌△DAB，推出∠AEM=∠ADB，根据∠DAB=90°求出∠DBA+∠MEA=90°，求出∠ECB=90°，即可得出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∴AE=AD，AC=AB，∠EAD=∠CAB=90°，求出∠EAC=∠BAD，证△EAC≌△DAB，推出∠CEA=∠ADB，求出∠ECD=90°即可．

解答：（1）证明：
∵△EAD和△MAB是等腰直角三角形，
∴AE=AD，AM=AB，∠EAD=∠MAB=90°，
在△EAM和△DAB中

AE=AD ∠EAM=∠DAB AM=AB

∴△EAM≌△DAB（SAS），
∴∠AEM=∠ADB，
∵∠DAB=90°，
∴∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠MEA=90°，
∴∠ECB=180°-90°=90°，
∴EC⊥BD；

（2）解：EC⊥BD，
理由是：∵△EAD和△CAB是等腰直角三角形，
∴AE=AD，AC=AB，∠EAD=∠CAB=90°，
∴∠EAM+∠DAC=∠BCA+∠DAC，
∴∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△DAB中

AE=AD ∠EAC=∠DAB AC=AB

∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴∠CEA=∠ADB，
∵∠EAM=90°，
∴∠CEA+∠EMA=90°，
∵∠EMA=∠DMC，
∴∠DMC+∠BDA=90°，
∴∠ECD=180°-90°=90°，
∴EC⊥BD．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，此题证明过程类似．