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如图,二次函数y=x2+bx-3b+3的图象与x轴交于AB两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b2-5b-1).

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)⊙MABC三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标;

(3)连接AMDM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MAMDx轴、y轴分别交于点EF,若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标.

 


   


解析:(1)把点(b-2,2b2-5b-1)代入解析式,得

2b2-5b-1=(b-2)2+bb-2)-3b+3,  

解得b=2.

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.          

(2)由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1.

A(-3,0)、B(1,0)、C(0,-3).

抛物线的对称轴是直线x=-1,圆心M在直线x=-1上.

∴设M(-1,n),作MG⊥x轴于GMHy轴于H

连接MCMB.

MH=1,BG=2.                                      

MB=MC,∴BG2+MG2=MH2+CH2

即4+n2=1+(3+n2,解得n=-1,∴点M(-1,-1)   

(3)如图,由M(-1,-1),得MG=MH.

MA=MD,∴Rt△AMGRtDMH,∴∠1=∠2.

由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.

若△DMF为等腰三角形,则△AME为等腰三角形.         

Ex,0),△AME为等腰三角形,分三种情况:

AE=AM=,则x=-3,∴E-3,0);

②∵MAB的垂直平分线上,

MA=ME=MB,∴E(1,0)                           

③点EAM的垂直平分线上,则AE=ME.

AE=x+3,ME2=MG2+EG2=1+(-1-x2,∴(x+3)2=1+(-1-x2,解得x=,∴E,0).∴所求点E的坐标为(-3,0),(1,0),(,0)

 


    


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