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14.如图,在?ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:DE∥BF;
(2)若∠G=90°,求证:四边形DEBF是菱形;
(3)请利用备用图分析,在(2)的条件下,若BE=4,∠DEB=120°,点M为BF的中点,当点P在BD边上运动时,求PF+PM的最小值,并求出此时线段BP的长.

分析 (1)根据平行四边形的性质得到DF=BE,AB∥CD,根据平行四边形的判定定理证明四边形DEBF是平行四边形,根据平行四边形的性质证明结论;
(2)根据矩形的判定定理得到四边形AGBD是矩形,根据直角三角形的性质得到ED=EB,证明结论;
(3)连接EM交BD于P,根据轴对称的性质证明此时PF+PM的值最小,根据等边三角形的性质计算即可.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵E、F分别为边AB、CD的中点,
∴DF=BE,又AB∥CD,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴DE∥BF;
(2)∵AG∥DB,AD∥CG,
∴四边形AGBD是平行四边形,
∵∠G=90°,
∴平行四边形AGBD是矩形,
∴∠ADB=90°,又E为边AB的中点,
∴ED=EB,又四边形DEBF是平行四边形,
∴四边形DEBF是菱形;
(3)连接EF,连接EM交BD于P,
∵四边形DEBF是菱形,
∴点E和点F关于BD轴对称,此时PF+PM的值最小,
∵四边形DEBF是菱形,∠DEB=120°,
∴∠EBF=60°,
∴△BEF是等边三角形,又BE=4,
∴EM=2$\sqrt{3}$,即PF+PM的最小值为2$\sqrt{3}$,
由题意得,点P为△EBF的重心,
∴BP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质,轴对称变换的性质以及等边三角形的性质的综合运用,掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键.

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