Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，点E、F分别在AB、AC的延长线上．EF交⊙O于点M、N，交AD于点H，H是OD的中点，=，EH-HF=2．设∠ACB=a ，tana =，EH和HF是方程x²-(k+2)x+4k=0的两个实数根．

(1)求EH和HF的长；

(2)求BC的长．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)依题意，及一元二次方程根与系数关系， 得D=[-(k+2)]2-4×4k＞0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① EH+HF=k+2，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ② EH·HF=4k＞0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③ 又EH-HF=2．　　 ④　 由②、③、④得k=12． 当k=12时，①成立，把k=12代入原方程解得x1=8，x2=6． ∴　EH=8，HF=6． (2)连结BD．∴　∠ADB=∠a． ∵　， ∴　AD⊥EF，即∠AHE=∠AHF=90°． ∴　∠E=∠ADB=∠a． 在Rt△AEH中，tanE= =tana=， 又EH=8，∴　AH=6． 由勾股定理，得AE=10，AF=． ∵　tanADB= =tana=． 设AB=3 m，则BD=4 m． ∴　AD=5 m． ∵　H是OD的中点，∴　AD=8，AB=． ∵　∠E=∠a，∠BAC=∠FAE， ∴　△ABC∽△AFE．∴　． ∴　BC=．