【题目】已知∠AOB=120°,点P为射线OA上一动点(不与点O重合),点C为∠AOB内部一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,且点Q恰好落在射线OB上,不与点O重合.
(1)依据题意补全图1;
(2)用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系,并证明;
(3)连接OC,写出一个OC的值,使得对于任意点P,总有OP+OQ=4,并证明.
【答案】(1)详见解析;(2)∠CQO+∠CPO=180°,详见解析;(3)OC=4时,对于任意点P,总有OP+OQ=4,详见解析.
【解析】
(1)根据题意补全图形即可;
(2)根据四边形内角和为360°可得答案;
(3)连接OC,在射线OA上取点D,使得DP=OQ,连接CD,首先证明△COQ≌△CDP,然后△COD为等边三角形,进而可得答案.
(1)补图如图1:
(2)∠CQO+∠CPO=180°,
理由如下:∵四边形内角和360°,
且∠AOB=120°,∠PCQ=60°,
∴∠CQO+∠CPO=∠1+∠2=180°.
(3)OC=4时,对于任意点P,总有OP+OQ=4.
证明:连接OC,在射线OA上取点D,使得DP=OQ,连接CD.
∴OP+OQ=OP+DP=OD.
∵∠1+∠2=180°,
∵∠2+∠3=180°,
∴∠1=∠3.
∵CP=CQ,
在△CQO和△CPD中
,
∴△COQ≌△CDP(SAS).
∴∠4=∠6,OC=CD.
∵∠4+∠5=60°,
∴∠5+∠6=60°.
即∠OCD=60°.
∴△COD是等边三角形.
∴OC=OD=OP+OQ=4.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,BC=15,tan∠A=点P为AD边上任意一点,连结PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上,则PB旋转到PQ所扫过的面积____(结果保留π)
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过B点作BF∥AC,过C点作CF∥BD,BF与CF相交于点F.
(1)求证:四边形BFCO是菱形;
(2)连接OF、DF,若AB=2,tan∠OFD=,求AC的长.
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【题目】如图1,在弧MN和弦MN所组成的图形中,P是弦MN上一动点,过点P作弦MN的垂线,交弧MN于点Q,连接MQ.已知MN=6cm,设M、P两点间的距离为xcm,P、Q两点间的距离为y1cm,M、Q两点间的距离为y2cm.小轩根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小轩的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值:x/cm.
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 0 | 2.24 | 2.83 | 3.00 | 2.83 | 2.24 | 0 |
y2/cm | 0 | 2.45 | 3.46 | 4.24 | m | 5.48 | 6 |
上表中m的值为 .(保留两位小数)
(2)在同一平面直角坐标系xOy(图2)中,函数y1的图象如图,请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点(x,y2),并画出函数y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当△MPQ有一个角是30°时,MP的长度约为 cm.(保留两位小数)
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【题目】如图,在ABCD中,AC,BD交于点O,且AO=BO.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E,当AD=3,tan∠CAB=时,求AE的长.
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【题目】某地扶贫人员甲从办公室出发,骑车匀速前往所村走访群众,出发几分钟后,扶贫人员乙发现甲的手机落在办公室,无法联系,于是骑车沿相同的路线匀速去追甲.乙刚出发2分钟,甲也发现自己手机落在办公室,立刻原路原速骑车返回办公室,2分钟后甲遇到乙,乙把手机给甲后立即原路原速返回办公室,甲继续原路原速赶往村.甲、乙两人相距的路程(米)与甲出发的时间(分)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间忽略不计).有下列三个说法:
①甲出发10分钟后与乙相遇;
②甲的速度是400米/分;
③乙返回办公室用时4分钟.
其中所有正确说法的序号是_________.
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【题目】在平面直角坐标系中,点,若射线上存在点,使得是以为腰的等腰三角形,就称点为线段关于射线的等腰点.
(1)如图, ,
①若,则线段关于射线的等腰点的坐标是_____;
②若,且线段关于射线的等腰点的纵坐标小于1,求的取值范围;
(2) 若,且射线上只存在一个线段关于射线的等腰点,则的取值范围是__________.
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【题目】根据学习函数的经验,探究函数y=x2+ax﹣4|x+b|+4(b<0)的图象和性质:
(1)下表给出了部分x,y的取值;
x | L | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | L |
y | L | 3 | 0 | ﹣1 | 0 | 3 | 0 | ﹣1 | 0 | 3 | L |
由上表可知,a= ,b= ;
(2)用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y=x2+ax﹣4|x+b|+4的图象;
(3)结合你所画的函数图象,写出该函数的一条性质;
(4)若方程x2+ax﹣4|x+b|+4=x+m至少有3个不同的实数解,请直接写出m的取值范围.
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【题目】《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准: 分及以上为优秀; 分分为良好; 分分为及格;分以下为不及格.某校为了解学生的体质健康情况,从八年级学生中随机抽取了的学生进行了体质测试,并将测试数据制成如下统计图.请根据相关信息解答下面的问题:
扇形统计图中,“不及格” 等级所在扇形圆心角的度数是多少?
求参加本次测试学生的平均成绩;
若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有人,请你估计全校八年级“不及格”等级的学生大约有多少人.
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