Question

【题目】如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DE⊥AC．

（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圆O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵D是BC的中点，O为AB的中点，

∴OD∥AC．

又∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD为半径，

∴DE是圆O的切线．

（2）解：连接AD；

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°=∠ADC，

∴△ADC是直角三角形．

∵∠C=30°，CD=10，

∴AD= ．

∵OD∥AC，OD=OB，

∴∠B=30°，

∴△OAD是等边三角形，

∴OD=AD= ，

∴圆O的半径为 cm．

【解析】（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可得OD∥AC．再根据平行线的性质就可证明DE是圆O的切线；（2）利用30°这个特殊角度，求出AD的长，由两直线平行同位角相等，可得∠B=30°，进而判断出△OAD是等边三角形，得到圆O的半径.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等边三角形的性质和圆周角定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．