Question

如图，直线y=

3

（x+1）分别与x轴、y轴相交于A、B两点，等边△ABC的顶点C在第二象限．
（1）在所给图中，按尺规作图要求，求作等边△ABC（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若一次函数y=kx+b的图象经过A、C两点，求k、b的值；
（3）以坐标原点O为圆心、OB的长为半径的圆交线段CA于点D，交CA的延长线于点E．求证：BD⊥CE．

Answer 1

分析：（1）在所给图中，按尺规作图要求，求作等边△ABC，三角形的顶点C，应该在线段AB的垂直平分线上，并且到A得距离是AB的长；
（2）根据等边三角形的性质可以求出C点的坐标，A点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式，得到k，b的值；
（3）只要证明BE是圆的直径就可以．

解答：（1）解：图如右，

（2）解：在直线y=

3

（x+1）中令x=0，y=0分别解得y=

3

，x=-1，
因而A，B的坐标分别是（-1，0），（0，

3

），
则tan∠BAO=

3

，
∴∠BAO=60°，△ABC是等边三角形，
∴过点C作CD⊥x轴与D，则∠CAD=60°，CD=

3

，AD=1，因而C的坐标（-2，

3

）
根据题意得到

-k-b=0 -2k-b= 3

，解得

b= 3 k=- 3

；

（3）证明：直线AC的解析式是y=-

3

x-

3

，
在这个函数中令x=0，解得y=-

3

，
则OB=OE，即BE是圆的直径，因而BD⊥CE．

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，以及圆周角的性质，直径所对的圆周角是直角．