Question

已知反比例函数y₁=

k

x

的图象与一次函数y₂=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，-2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得y₁＞y₂成立的自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y₁=

4

x

，再求出B的坐标是（-2，-2），利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围x＜-2 或0＜x＜1．
（3）根据坐标与线段的转换可得出：AC、BD的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．

解答：解：（1）∵函数y₁=

k

x

的图象过点A（1，4），即4=

k

1

，
∴k=4，即y₁=

4

x

，
又∵点B（m，-2）在y₁=

4

x

上，
∴m=-2，
∴B（-2，-2），
又∵一次函数y₂=ax+b过A、B两点，
即

-2a+b=-2 a+b=4

，
解之得

a=2 b=2

．
∴y₂=2x+2．
综上可得y₁=

4

x

，y₂=2x+2．

（2）要使y₁＞y₂，即函数y₁的图象总在函数y₂的图象上方，
如图所示：当x＜-2 或0＜x＜1时y₁＞y₂．
（3）

由图形及题意可得：AC=8，BD=3，
∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

AC×BD=

1

2

×8×3=12．

点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．以及三角形面积的求法，这里体现了数形结合的思想．