Question

18．解方程：
（1）2x²-5x+2=0
（2）16（x+5）²-8（x+5）=0
（3）x²+4x-1=0
（4）（x+1）（x+2）=2x+4
（5）$\frac{x-1}{x}$+$\frac{x}{x-1}$=$\frac{5}{2}$
（6）已知x为实数，且$\frac{3}{{x}^{2}+3x}$-（x²+3x）=2，求x²+3x的值．

Answer 1

分析 （1）将方程左右两边同时除以2变形，且常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）等式的左边利用提取公因式8（x+5）进行因式分解；
（3）首先把方程移项变形为x²+4x=1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
（4）先将方程右边分解因式，得（x+1）（x+2）=2（x+2），再移项，使方程右边为0，然后将左边分解因式，即可求解；
（5）设y=$\frac{x-1}{x}$，则原方程转化为关于y的分式方程，通过解新的分式方程求得y的值，然后解关于x的分式方程；
（6）设t=x²+3x，则原方程转化为关于t的分式方程，通过解新的分式方程求得t的值．

解答 解：（1）2x²-5x+2=0，
变形得：x²-$\frac{5}{2}$x=-1，
配方得：x²-$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{16}$=$\frac{9}{16}$，即（x-$\frac{5}{4}$）²=$\frac{9}{16}$，
开方得：x-$\frac{5}{4}$=±$\frac{3}{4}$，
则x₁=2，x₂=-$\frac{1}{2}$；

（2）16（x+5）²-8（x+5）=0，
8（x+5）（2x+10-1）=0，即8（x+5）（2x+9）=0，
所以x+5=0或2x+9=0，
解得x₁=-5，x₂=-4.5；

（3）x²+4x-1=0，
移项得，x²+4x=1，
配方得，x²+4x+4=1+4，
（x+2）²=5，
开方得，x+2=±$\sqrt{5}$，
解得，x₁=-2+$\sqrt{5}$，x₂=-2-$\sqrt{5}$；

（4）（x+1）（x+2）=2x+4，
（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，
（x+2）（x-1）=0，
则（x+2）=0或（x-1）=0，
解得x₁=-2，x₂=1；

（5）$\frac{x-1}{x}$+$\frac{x}{x-1}$=$\frac{5}{2}$，
设y=$\frac{x-1}{x}$，则
y+$\frac{1}{y}$=$\frac{5}{2}$，
整理，得
（y-2）（2y-1）=0，
解得y=2或y=$\frac{1}{2}$．
经检验y=2、y=$\frac{1}{2}$都是原方程的根．
当y=2时，$\frac{x-1}{x}$=2，解得：x=-1；
当y=$\frac{1}{2}$时，$\frac{x-1}{x}$=2，解得：x=2；
经检验x=-1、x=2都是原方程的根．
所以原方程的解为：x₁=-1，x₂=2；

（6）设t=x²+3x，则$\frac{3}{t}$-t=2，
整理，得
（t-1）（t+3）=0，
解得t=1或t=-3．
经检验，t=1或t=-3都是原方程的根．
即x²+3x的值是1或-3．

点评 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．