Question

13．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC=6，CE=4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）先利用圆周角定理得到∠C=90°，则利用OD∥BC得到∠AEO=90°，所以∠D+∠DAE=90°，加上∠D=∠BAC，则可证明∠DAO=90°，于是根据切线的判定定理可得到结论；
（2）先利用垂径定理得到AE=CE=4，再利用勾股定理计算出AB=10，然后证明Rt△ADE∽Rt△BAC，则利用相似比可计算出AD．

解答 （1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，
∴∠D+∠DAE=90°，
∵∠D=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAC=90°，即∠DAO=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是半圆O的切线；
（2）解：∵∠AEO=90°，
∴OE⊥AC，
∴AE=CE=4，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠D=∠BAC，
∴Rt△ADE∽Rt△BAC，
∴AD：AB=AE：BC，即AD：10=4：6，
∴AD=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．把证明切线的问题转化为证明线段垂直的问题．利用相似三角形的知识解决（2）小题．