Question

19．在Rt△OAB中，∠AOB=90°，已知AB=$\sqrt{10}$，AO：BO=1：3，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°得到△ODC，如图1建立平面直角坐标系．
（1）求A，B，C三点坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点（如图2），点P是抛物线的顶点，试判定△PCD的形状，并说明理由：
（3）在（2）的抛物线上，且在第一象限中，是否存在点Q，使S_△QCD=S_△OCD？若存在，请求点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOB中，根据条件可求得OA、OB的长，再由旋转的性质可求得OC的长，则可求得A、B、C的坐标；
（2）由待定系数法可求得抛物线解析式，可求得P点坐标，结合D、C的坐标，可分别求得PD、PC、CD的长，则可判断出△PCD的形状；
（3）可先求得直线CD解析式，过Q作QH∥y轴，交CD于点H，可设出Q点的坐标，从而可表示出QH，则可表示出△QCD的面积，由条件可得到方程，可求得Q点坐标．

解答 解：
（1）在Rt△OAB中，AB=$\sqrt{10}$，AO：BO=1：3，
∴OA=1，OB=3，
∴A（-1，0），B（0，3），
∵△OCD是由△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°所得，
∴OC=OB=3，
∴C（3，0），
综上可知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（0，3）、（3，0）；
（2）∵抛物线经过A、C两点，
∴可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线经过点B（0，3），
∴a（0+1）（0-3）=3，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-（x-1）²+4，
∴P点坐标为（1，4），
∵OD=OA=1，
∴D（0，1），
∴PD=$\sqrt{{1}^{2}+（4-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，PC=$\sqrt{（1-3）^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∴PD²+CD²=PC²，且PD=CD，
∴△PCD是等腰直角三角形；
（3）存在．
设直线CD解析式为y=kx+b，
∵直线经过点C（3，0），D（0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
过点Q作QH∥y轴，交CD于点H，

∵点Q是抛物线上第一象限内的点，
∴可设Q（m，-m²+2m+3）（m＞0），则点H为（m，-$\frac{1}{3}$m+1），
∴QM=-m²+2m+3-（-$\frac{1}{3}$m+1）=-m²+$\frac{7}{3}$m+2，
∴S_△QCD=$\frac{1}{2}$QM•OC=$\frac{1}{2}$（-m²+$\frac{7}{3}$m+2）×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{7}{2}$m+3，
∵S_△QCD=S_△OCD=$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{7}{2}$m+3=$\frac{3}{2}$，解得m=$\frac{7+\sqrt{85}}{6}$或m=$\frac{7-\sqrt{85}}{6}$（舍去），
∴存在满足条件的点Q，其横坐标为$\frac{7+\sqrt{85}}{6}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及旋转、勾股定理、待定系数法、等腰直角三角形的判定及三角形的面积等知识点．在（1）中求得相应线段的长度是解题的关键，在（2）中求得P点的坐标是解题的关键，在（3）中设出Q点的坐标表示出△QCD的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．