Question

2．已知正方形ABCD边长为1，对角线AC，BD相交于点O，E为BC延长线上一点，连接AE分别交BD，CD于P，F；连接BF并延长与线段DE交于点G，连接OE交于S，若PS∥AC，求BG的长．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到AB=CD=1，AD∥BC，OA=OC，AC=BD，根据平行线分线段成比例得到$\frac{PS}{AO}=\frac{PE}{EA}$，$\frac{PS}{OC}=\frac{PD}{OD}$，等量代换得到$\frac{PD}{OD}=\frac{PE}{EA}$，推出AC∥DE，证得四边形ACED是平行四边形，由平行四边形的性质得到∠DAC=∠CED=45°，AC=DE=BD，求得△BDF≌△EDF，根据全等三角形的性质得到BF=EF，由等腰三角形的性质得到∠3=∠FEC，证得△BDG≌△EDP，求得BG=EP，根据平行线分线段成比例得到$\frac{AD}{BE}=\frac{PA}{PE}$=$\frac{1}{2}$，求得PE=$\frac{2}{3}$AE，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，即可得到结论．

解答 解：在正方形ABCD中，AB=CD=1，AD∥BC，OA=OC，AC=BD，
∵PS∥AC，
∴$\frac{PS}{AO}=\frac{PE}{EA}$，$\frac{PS}{OC}=\frac{PD}{OD}$，
∴$\frac{PD}{OD}=\frac{PE}{EA}$，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴∠DAC=∠CED=45°，AC=DE=BD，
在△BDF与△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=ED}\\{∠BDC=∠EDC}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△EDF，
∴BF=EF，
∴∠3=∠FEC，
∵∠DBC=∠DEC=45°，
∴∠1=∠2，
在△BDG与△EDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BD=ED}\\{∠BDG=∠EDP}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△EDP，
∴BG=EP，
∵AD∥EF，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{PA}{PE}$=$\frac{1}{2}$，
∴PE=$\frac{2}{3}$AE，
∵AB=1，BE=2，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴PE=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴BG=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．