已知:如图.把等腰△ABO放在直角坐标系中.AB=AO.点A的坐标是.过△ABO的重心Q作x轴的平行线l.把△ABO沿直线l翻折.使得点A'落在第三象限．(1)试直接写出点A′的坐标,(2)若双曲线y=ax过点A′.且它的另一分支与直线l相交于点C.试判断:直线A′C是否经过原点O?(3)问:y轴上是否存在点P.使得△A′CP是直角三角形?若存在.试求出点P的坐标,若不存在.试说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知：如图，把等腰△ABO放在直角坐标系中，AB=AO，点A的坐标是（-2，3），过△ABO的重心Q作x轴的平行线l，把△ABO沿直线l翻折，使得点A'落在第三象限．
（1）试直接写出点A′的坐标；
（2）若双曲线y=

过点A′，且它的另一分支与直线l相交于点C，试判断：直线A′C是否经过原点O？
（3）问：y轴上是否存在点P，使得△A′CP是直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题,函数思想

分析：（1）由已知点Q是三角形的重心，可写出Q的坐标，又由过△ABO的重心Q作x轴的平行线l，把△ABO沿直线l翻折，使得点A'落在第三象限，可得出A^′的坐标．
（2）由（1）可得出C点的纵坐标为1，也可写出双曲线的解析式，因此可得出C点的坐标，继而求出直线AC，把O（0，0）代入直线AC验证即可．
（3）可分三种情况）①当∠A'CP=90°时，②当∠PA'C=90°时，③当∠A'PC=90°时，分类讨论得出．

解答：解：（1）由题意：Q（-2，1），直线l为：y=1，则A'（-2，-1）；

（2）将A'（-2，-1）代入双曲线解析式，得双曲线解析式为：y=

．把y=1代入y=

，得C（2，1），再求得直线AC的解析式为：y=2x，把点O（0，0）代入y=2x，左=右，故直线A'C经过原点O．

（3）①当∠A'CP=90°时，设过点C的直线CP的解析式为：y=mx+n（m≠0），直线CP与x轴的交点为D，又过点C（2，1），则2m+n=1，n=1-2m，故y=mx+（1-2m），点D(

2m-1

， 0)，作CH⊥x轴，由△OHC∽△CHD可得：

，即CH²=OH•HD，
∴12=2×(

2m-1

-2)，解得：m=-2，故直线CP的解析式为y=-2x+5，令x=0，则y=5．故点P的坐标为P₁（0，5）．
②当∠PA'C=90°时，由双曲线的对称性可得另一点P的坐标为P₂（0，-5）．
③当∠A'PC=90°时，以A'C为直径作⊙O交y轴于两点P₃、P₄，由“直径所对的圆周角是直角”可知P₃、P₄符合题意，在Rt△OHC中，由勾股定理可得：OC=

，则点P3(0，

)、P4(0， -

)．

点评：本题考查的知识点是反比例函数的综合运用．关键是（1）由已知先写出Q的坐标，再根据翻折写出A^′的坐标．（2）由已知求出直线AC的解析式，把O（0，0）代入验证．（3）要求分三种情况分类讨论求解．

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