Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=3，BC=4．若P为线段AB上任意一点，延长PD到E，使DE=2PD，再以PE、PC为边作?PCQE，求对角线PQ的最小值

 

．

Answer 1

考点：梯形,平行四边形的性质

专题：

分析：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD=DE，可得

DG

GC

=

PD

CQ

=

1

3

，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；

解答：解：设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴

DG

GC

=

PD

CQ

=

1

3

，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即

AD

CH

=

PD

CQ

=

1

3

，
∴CH=3，
∴BH=BC+CH=4+3=7，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为7．

点评：考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．