Question

14．如图，正方形ABCD的面积为3cm²，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm．

Answer 1

分析 如图，作DH∥MN，先证明△ADH≌△BAE推出MN⊥AE，在RT△AFM中求出AM即可，再根据对称性求出AM′，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作DH∥MN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，AB∥CD，
∴四边形DHMN是平行四边形，
∴DH=MN=AE，
在RT△ADH和RT△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{DH=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△BAE，
∴∠ADH=∠BAE，
∴∠ADH+∠AHD=∠ADH+∠AMN=90°，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠AFM=90°，
在RT△ABE中，∵∠B=90°，AB=$\sqrt{3}$，∠BAE=30°，
∴AE•cos30°=AB，
∴AE=2，
在RT△AFM中，∵∠AFM=90°，AF=1，∠FAM=30°，
∴AM•cos30°=AF，
∴AM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
根据对称性当M′N′=AE时，BM′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AM′$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故答案为$\frac{√3}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题科学正方形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．