Question

已知一次函数y=-

3

x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x，y于A，B两点，以坐标原点O为圆心的圆的半径为1．
（1）求A、B两点的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）设点O到直线l的距离为d，试用含m的代数式表示d，并求出当直线1与⊙O相切时，m的值；
（3）当⊙O被直线l所截得的弦长等于1时，求m的值及直线l与⊙O的交点坐标．

Answer 1

分析：（1）对一次函数y=-

3

x+m，令y=0求得A点坐标，x=0时求得B点坐标；
（2）按照等量关系“

1

2

×OA×OB=

1

2

×AB×d”得出d的值，当d=1时，直线1与⊙O相切；
（3）由圆和直线的几何关系以及前两问得出的信息求得m值及交点坐标．

解答：解：（1）当x=0时，y=m；当y=0时，x=

3

3

m
∴A点坐标为（

3

3

m，0），B点坐标为（0，m）．

（2）结合图象可知：
OA=

3

3

|m|，OB=|m|，
在Rt△OAB中，无论m（m≠0）取何值，
都有tan∠BAO=

OB

OA

=

3

，∴∠BAO=60°
当m=0时，也可推得直线1与x轴成60°角，又d是Rt△OAB斜边上的高，
∴d=

1

2

|m|，
∵⊙O的半径等于1，∴

1

2

|m|=1，
∴m=±2．

（3）由（2）推出∠BAO=60°．又l被⊙O所截得的弦长等于半径1，结合圆的性质可知1过⊙O与x轴的交点（1，0）或（-1，0）
把（1，0）或（-1，0）代入y=-

3

x+m中，
可求得m=±

3

从而得1与⊙O的另一交点坐标为（

1

2

，

3

2

）或（-

1

2

，-

3

2

）

点评：此题考查的是一次函数坐标的求法、点到直线的距离以及圆和直线的几何关系．