Question

19．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S_△ABC=12，则图中阴影部分的面积是4．

Answer 1

分析 根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．

解答 方法1
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S_△CGE=S_△AGE=$\frac{1}{3}$S_△ACF，S_△BGF=S_△BGD=$\frac{1}{3}$S_△BCF，
∵S_△ACF=S_△BCF=$\frac{1}{2}$_S△ABC=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴S_△CGE=$\frac{1}{3}$S_△ACF=$\frac{1}{3}$×6=2，S_△BGF=$\frac{1}{3}$S_△BCF=$\frac{1}{3}$×6=2，
∴S_阴影=S_△CGE+S_△BGF=4．
故答案为4．方法2
设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，S₅，S₆，根据中线平分三角形面积可得：S₁=S₂，S₃=S₄，S₅=S₆，S₁+S₂+S₃=S₄+S₅+S₆①，S₂+S₃+S₄=S₁+S₅+S₆②
由①-②可得S₁=S₄，所以S₁=S₂=S₃=S₄=S₅=S₆=2，故阴影部分的面积为4．

点评 根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．