Question

3．如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下结论：
①$\frac{AM}{CN}$=$\frac{|{k}_{1}|}{|{k}_{2}|}$；
②阴影部分面积是$\frac{1}{2}$（k₁+k₂）；
③当∠AOC=90°时，|k₁|=|k₂|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是（　　）

• A． ①④
• B． ①③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 连接AC交OB于点D，则可知D为AC中点，从而可得到ON=OM，利用反比例函数k的几何意义可分别表示出△CON和△AOM的面积，从而可判断①②，当∠AOC=90°时，OA和OC不一定相等，从而|k₁|和|k₂|不一定相等，可判断③，当四边形OABC是菱形时，可得到OA=OC，可证明△AOM≌△CON，可得到AM=CN，从而可判断④，可得出答案．

解答 解：
如图，连接AC，交OB于点D，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴D为AC的中点，
∵AM⊥x轴，CN⊥x轴
∴AM∥CN∥OD，
∴O为MN的中点，
∴ON=OM，
∴S_△AMO=$\frac{1}{2}$OM•AM，S_△CNO=$\frac{1}{2}$ON•CN，
∵点A和点C分别在双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的一支上，
∴S_△AMO=$\frac{1}{2}$|k₁|，S_△CNO=$\frac{1}{2}$|k₂|，
∴OM•AM=|k₁|，ON•CN=|k₂|，
∴$\frac{AM}{CN}$=$\frac{\frac{|{k}_{1}|}{OM}}{\frac{|{k}_{2}|}{ON}}$═$\frac{|{k}_{1}|}{|{k}_{2}|}$，
故①正确；
∵k₁＞0，k₂＜0，
∴S_阴影=S_△AMO+S_△CNO=$\frac{1}{2}$|k₁|+|$\frac{1}{2}$|k₂|=$\frac{1}{2}$k₁-$\frac{1}{2}$k₂=$\frac{1}{2}$（k₁-$\frac{1}{2}$k₂），
故②不正确；
当∠AOC=90°时，OA≠OC，
∴CN≠AM，
∴$\frac{AM}{CN}$≠1，即|k₁|≠|k₂|，
故③不正确；
当四边形OABC是菱形时，则OA=OC，
在Rt△AOM和Rt△CON中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴CN=AM，
∴|k₁|=|k₂|，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，
故④正确；
综上可知正确的结论是①④，
故选A．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有反比例函数中k的几何意义、平行四边形形的性质、矩形菱形的性质、三角形全等的判定和性质等．利用条件得出O是MN的中点是解题的关键，注意两双曲线的反比例系数的符号．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．