Question

16．在△ABC中，已知∠CAB=60°，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED=60°，ED+DB=CE，∠CDB=2∠CDE，则∠DCB等于20°．

Answer 1

分析 延长AB到F使BF=AD，如图，先判断△ADE为等边三角形得到AD=DE=AE，∠ADE=60°，再利用∠CDB=2∠CDE得到∠CDE=40°，∠CDB=80°，接着证明AF=AC，从而可判断△AFC为等边三角形，则有CF=AC，∠F=60°，然后证明△ACD≌△FCB 得到CB=CD，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠DCB的度数．

解答 解：延长AB到F使BF=AD，如图，
∵∠CAD=60°，∠AED=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，
∴∠BDE=180°-∠ADE=120°，
∵∠CDB=2∠CDE，
∴3∠CDE=120°，解得∠CDE=40°，
∴∠CDB=2∠CDE=80°，
∵BF=AD，
∴BF=DE，
∵DE+BD=CE，
∴BF+BD=CE，即DF=CE，
∵AF=AD+DF，AC=AE+CE，
∴AF=AC，
而∠BAC=60°，
∴△AFC为等边三角形，
∴CF=AC，∠F=60°，
在△ACD和△FCB 中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=FB}\\{∠A=∠F}\\{AC=FC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FCB （SAS），
∴CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=80°，
∴∠DCB=180-（∠CBD+∠CDB）=20°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．解决本题的关键是延长AB到F使BF=AD，构建△FCB与△ACD全等．