Question

11．矩形的一个角的平分线分一边为3cm和4cm两部分，则这个矩形的对角线的长为$\sqrt{65}$或$\sqrt{58}$cm．

Answer 1

分析 由矩形的性质证出∠AEB=∠CBE，由∠ABE=∠CBE，得出∠AEB=∠ABE，根据等角对等边得出AB=AE，求出AD，再由勾股定理求出对角线长即可．

解答 解：如图所示：
∵△ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AC=BD，∠C=90°，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE；
当AE=4cm时，AB=4cm；AD=7cm，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{65}$（cm）；
当AE=3cm时，AB=3cm，AD=7cm，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{58}$（cm）；
即这个矩形的对角线的长为$\sqrt{65}$cm或$\sqrt{58}$cm；
故答案为：$\sqrt{65}$或$\sqrt{58}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，求出AB=AE是解决问题的关键．