Question

8．如图，二次函数y=ax²+bx-3的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）D是线段BC上的一个动点，过D点作y轴的平行线交抛物线于点N，求线段DN长度的最大值；
（3）该抛物线的顶点为M，探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A和B点代入y=ax²+bx-3得关于a和b的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）先确定C（0，-3），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x-3，则可设D（t，t-3），N（t，t²-2t-3），然后表示出DN得到DN═-t²+3t，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）把进行配成顶点式得到M（1，-4），再利用勾股定理的逆定理判断△BCM为直角三角形，∠BMC=90°，然后分类讨论：若点P在x轴上，当∠APC=90°，即点P在原点时易得△AOC∽△MCB，此时P点坐标为（0，0）；当∠ACP=90°，利用$\frac{AP}{BM}$=$\frac{AC}{CM}$可判断△CPA∽△CBM，即$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，求出AP即可得到此时P点坐标；若P点在y轴上，当∠APC=90°时，P点在原点满足条件，当∠PAC=90°时，$\frac{PC}{BM}$=$\frac{AC}{BC}$，△APC∽△CMB，利用$\frac{PC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$可判断△APC∽△CMB，求出PC即可得到此时P点坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-3得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）如图1，当x=0时，y=x²-2x-3=3，则C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，-3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=x-3，
设D（t，t-3），则N（t，t²-2t-3），
所以DN=t-3-（t²-2t-3）=-t²+3t=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，DN有最大值$\frac{9}{4}$；
（3）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则M（1，-4），
∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{{1}^{2}+（-3+4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0+4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BC²+CM²=BM²，
∴△BCM为直角三角形，∠BMC=90°，
若点P在x轴上，
当∠APC=90°，即点P在原点时，
∵$\frac{OA}{CM}$=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴△AOC∽△MCB，此时P点坐标为（0，0）；
当∠ACP=90°，$\frac{AP}{BM}$=$\frac{AC}{CM}$，△CPA∽△CBM，即$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，解得AP=10，此时P（9，0）；
若P点在y轴上，
当∠APC=90°时，P点在原点满足条件，
当∠PAC=90°时，$\frac{PC}{BM}$=$\frac{AC}{BC}$，△APC∽△CMB，
即$\frac{PC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$，解得PC=$\frac{10}{3}$，则OC=$\frac{1}{3}$，此时P点坐标为（0，$\frac{1}{3}$），
综上所述，P点坐标为（0，0），（0，$\frac{1}{3}$），（9，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；熟练运用相似三角形的知识求线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．