Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx-5（a≠0）经过点A（4，-5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；
（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；
（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-5与y轴交于点C，
∴C（0，-5），
∴OC=5．
∵OC=5OB，
∴OB=1，
又点B在x轴的负半轴上，
∴B（-1，0）．
∵抛物线经过点A（4，-5）和点B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-5=-5}\\{a-b-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴这条抛物线的表达式为y=x²-4x-5．

（2）由y=x²-4x-5，得顶点D的坐标为（2，-9）．
连接AC，
∵点A的坐标是（4，-5），点C的坐标是（0，-5），
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×5=10，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=18．
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×CH=10，AB=$\sqrt{（-1-4）^{2}+（0+5）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴CH=2$\sqrt{2}$，
在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=$\sqrt{26}$，BH=$\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴tan∠CBH=$\frac{CH}{BH}$=$\frac{2}{3}$．
∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=$\frac{BO}{EO}$，
∵∠BEO=∠ABC，
∴$\frac{BO}{EO}=\frac{2}{3}$，得EO=$\frac{3}{2}$，
∴点E的坐标为（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．