Question

2．如图，一组平行线l₁，l₂，l₃分别与∠O的两边相交于点A₁，A₂，A₃和点B₁，B₂，B₃，且梯形A₁B₁B₂A₂，A₂B₂B₃A₃的面积相等．设线段OA₁=1，OA₂=2，则线段A₂A₃=$\sqrt{7}$-2．

Answer 1

分析 根据l₁∥l₂∥l₃，得到△OA₁B₁∽△OA₂B₂，△OA₁B₁∽△OA₃B₃，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△O{A}_{1}{B}_{1}}}{{S}_{△0{A}_{2}{B}_{2}}}$=（$\frac{{0A}_{1}}{0{A}_{2}}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，设S${\;}_{△0{A}_{1}{B}_{1}}$=k，则${S}_{△0{A}_{2}{B}_{2}}$=4k，于是得到S${\;}_{梯形{A}_{1}{B}_{1}{B}_{2}{A}_{2}}$=3k，由于梯形A₁B₁B₂A₂，A₂B₂B₃A₃的面积相等，于是求得S${\;}_{梯形{A}_{2}{B}_{3}{B}_{3}A3}$=3k，然后根据相似三角形的性质即可得到结果．

解答 解：∵l₁∥l₂∥l₃，
∴△OA₁B₁∽△OA₂B₂，△OA₁B₁∽△OA₃B₃，
∴$\frac{{S}_{△O{A}_{1}{B}_{1}}}{{S}_{△0{A}_{2}{B}_{2}}}$=（$\frac{{0A}_{1}}{0{A}_{2}}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
设S${\;}_{△0{A}_{1}{B}_{1}}$=k，则${S}_{△0{A}_{2}{B}_{2}}$=4k，
∴S${\;}_{梯形{A}_{1}{B}_{1}{B}_{2}{A}_{2}}$=3k，
∵梯形A₁B₁B₂A₂，A₂B₂B₃A₃的面积相等，
∴S${\;}_{梯形{A}_{2}{B}_{3}{B}_{3}A3}$=3k，
∴S${\;}_{△0{A}_{3}{B}_{3}}$=7k，
∴$\frac{{S}_{△O{A}_{1}{B}_{1}}}{{S}_{△O{A}_{3}{B}_{3}}}$=（$\frac{O{A}_{1}}{O{A}_{3}}$）²=（$\frac{1}{O{A}_{3}}$）²=$\frac{1}{7}$，
∴OA₃=$\sqrt{7}$，
∴A₂A₃=$\sqrt{7}$-2．
故答案为：$\sqrt{7}$-2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．