Question

16．抛物线y=x²+bx+c（b＜0）的顶点是D，与x轴交于点A和点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CD′，且D′（-4，1）
（1）求抛物线的解析式：
（2）E是抛物线上一点，△BCE是以BC为斜边的直角三角形，求点E的坐标：
（3）在抛物线上是否存在点P，使点P关于直线CD的对称点P′恰好落在x轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作D′F⊥OC于F，DE⊥OC于E．由△D′CF≌△CDE，推出D′F=CE=4，CF=DE，由OC=c，OF=1，推出，CF=DE=c-1，推出对称轴x=-$\frac{b}{2}$=c-1，推出b=2-2c，OE=4-c，推出D（c-1，c-4），推出抛物线为y=x²+（2-2c）x+c，把D（c-1，c-4）代入y=x²+（2-2c）x+c解方程即可．
（2）如图2中，以BC为直径画圆交抛物线于E、E′．设E（m，m²-4m+3）．根据题意GE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，列出方程即可解决问题．
（3）存在．如图3中，如图3中，设点P关于直线CD的对称点P′在x轴上，设P′（m，0）．想办法求出P点坐标，利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作D′F⊥OC于F，DE⊥OC于E．

∵∠D′CF+∠ECD=90°，∠ECD+∠CDE=90°，
∴∠D′CF=∠CDE，
在△D′CF和△CDE，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D′FC=∠CED}\\{∠D′CF=∠CDE}\\{D′C=CD}\end{array}\right.$，
∴△D′CF≌△CDE，
∴D′F=CE=4，CF=DE，
∵OC=c，OF=1，
∴，CF=DE=c-1，
∴对称轴x=-$\frac{b}{2}$=c-1，
∴b=2-2c，OE=4-c，
∴D（c-1，c-4），
∴抛物线为y=x²+（2-2c）x+c，
把D（c-1，c-4）代入y=x²+（2-2c）x+c得到c-4=（c-1）²+（2-2c）（c-1）+c，
整理得c²-2c-3=0，解得c=3或-1（舍弃），
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．

（2）如图2中，以BC为直径画圆交抛物线于E、E′．设E（m，m²-4m+3）．

易知G（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），由题意GE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴（m-$\frac{3}{2}$）²+（m²-4m+$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{2}$，
整理得m（m-3）（m²-5m+5）=0，
解得m=0或3或$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
∵C（0，3），B（3，0），
∴E（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）或E′（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）．

（3）存在．理由如下：
如图3中，如图3中，设点P关于直线CD的对称点P′在x轴上，设P′（m，0）．

∵直线CD的解析式为y=-2x+3，则直线PP′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{m}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{m}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6+m}{5}}\\{y=\frac{3-2m}{5}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{6+m}{5}$，$\frac{3-2m}{5}$），设P（x，y），
则有$\frac{x+m}{2}$=$\frac{6+m}{5}$，$\frac{y+0}{2}$=$\frac{3-2m}{5}$，
∴x=$\frac{12-3m}{5}$，y=$\frac{6-4m}{5}$，
∴P（$\frac{12-3m}{5}$，$\frac{6-4m}{5}$），
把P点坐标代入y=x²-4x+3中，得$\frac{6-4m}{5}$=（$\frac{12-3m}{5}$）²-4（$\frac{12-3m}{5}$）+3，整理得9m²+8m-51=0，
解得m=$\frac{-4+5\sqrt{19}}{9}$或$\frac{-4-5\sqrt{19}}{9}$，
∴P（$\frac{8-\sqrt{19}}{3}$，$\frac{14-4\sqrt{19}}{9}$）或（$\frac{8+\sqrt{19}}{3}$，$\frac{14+4\sqrt{19}}{9}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、圆的有关性质、两点间距离公式、中点坐标公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，本题的难点是用降次法解高次方程，属于中考压轴题．