Question

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m-1（m＞0）与x轴的交点为A，B，顶点为C，将抛物线在A，C，B之间的部分记为图象E（A，B两点除外）．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）AB=6时，经过点C的直线y=kx+b（k≠0）与图象E有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围．
（3）若横、纵坐标都是整数的点叫整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，C，B之间的图象E与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式对函数关系式进行变形得：y=m（x-1）²-1，从而可得到抛物线的解析式；
（2）由抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的两个交点分别是（-2，0），（4，0），然后求得直线AC和直线BC的解析式，然后依据一次函数与线段AB有两个交点可确定出k的范围；
（3）①当m=1时，抛物线表达式为y=x²-2x，然后再求得抛物线与x轴的交点坐标，然后再找出线段AB上的整点即可；②依据题意可知线段AB上恰有5个整点，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，然后依据整点的个数列出关于m的不等式，从而可求得m的范围．

解答 解：（1）∵y=mx²-2mx+m-1=m（x²-2x+1）-1=m（x-1）²-1，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，-1）．
（2）∵抛物线的对称轴为x=1，AB=6，
∴抛物线与x轴的两个交点分别是（-2，0），（4，0），
将点（-2，0），（1，-1）代入直线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{3}$．
将点（4，0），（1，-1）代入直线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{3}$．
∴k的取值范围为$-\frac{1}{3}$＜k＜0，或0＜k＜$\frac{1}{3}$．
（3）①当m=1时，抛物线表达式为y=x²-2x，
令y=0得：x²-2x=0，解得x=0或x=2，
∴A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0）．
∴则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个．
②抛物线顶点为（1，-1），图象E与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
∴线段AB上（含AB两点）必须有5个整点．
令y=mx²-2mx+m-1=0，得到A、B两点坐标分别为（1-$\frac{1}{\sqrt{m}}$，0），（1+$\frac{1}{\sqrt{m}}$，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，
∴2≤$\frac{1}{\sqrt{m}}$＜3，
解得：$\frac{1}{9}$＜m≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式，依据线段AB上恰好有5个整点，列出关于m的不等式是解题的关键．