Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）、B（4，0），∠OCA=∠OBC．
（1）求抛物线的解析式；                                    
（2）在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标；
（3）如果⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标．

Answer 1

分析：（1）要求抛物线的解析式，由题意知只需要求出点C的坐标即可，而点C的坐标可以根据△AOC∽△COB求得．
（2）要求点M的坐标，根据平行四边形的性质两组对边分别平行且相等来确定点M的坐标．
（3）根据抛物线的对称性可知⊙P的圆心在对称轴上，再根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等得知PC=PA，根据两点间的距离公式可以求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•BO=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）．（1分）
由题意，设抛物线解析式y=a（x-1）（x-4）．
∴a（0-1）（0-4）=0，
∴a=

1

2

．
∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2；（2分）

（2）M₁（3，2）或M₂（-3，2）或M₃（5，-2）；（3分）

（3）由（1）可得，抛物线y=

1

2

x2-

5

2

x+2的对称轴是直线x=

5

2

，（1分）
∵⊙P经过点A、B，
∴圆心P在直线x=

5

2

上，设P(

5

2

，y)．（1分）
∵点C在⊙P上，∴PC=PA，
∴(

5

2

-0)2+(y-2)2=(

5

2

-1)2+y2，（2分）
解得y=2．（1分）
∴P(

5

2

，2)．（1分）

点评：本题是一道二次函数的综合题，要求学生能根据已知三点坐标求二次函数的解析式，把平行四边形的性质和平面直角坐标系点的坐标结合起来，在求⊙P的坐标时运用了抛物线的性质．是一道综合性较强的试题．