Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AD的中点，BC=5，AD=12，梯形高为4，∠A=45°，P为AD边上的动点．

（1）当PA的值为

4或9

时，以点P、B、C、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当PA的值为

1或11

时，以点P、B、C、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在AD边上运动的过程中，以P、B、C、E为顶点的四边形能否构成菱形？如果能，求出PA长；如果不能，也请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过判断出△ABF是等腰直角三角形，然后求出AF，再分PB、PC是直角腰长两种情况求解；
（2）先根据中点定义求出AE的长，再根据平行四边形的对边相等求出PE的长度，然后根据点P在点E的左边与右边两种情况讨论求解即可；
（3）根据有邻边相等的平行四边形是菱形，点P在点E的左边时，求出先求出FP，再根据勾股定理求出PB，点P在点E的右边时，根据勾股定理求出BE，如果等于BC，则能，否则不能．

解答：解：（1）如图，过点B作BF⊥AD于F，
∵∠A=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
又∵梯形高为4，
∴AF=BF=4，
∴PB是直角梯形的直角腰时，PA=AF=4，
PC是直角梯形的直角腰时，PA=AF+BC=4+5=9，
所以，PA的值为4或9；

（2）∵E是AD的中点，AD=12，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

×12=6，
∵以点P、B、C、E为顶点的四边形为平行四边形，
∴PE=BC=5，
若点P在点E的左边，则PA=AE=PE=6-5=1，
若点P在点E的右边，则PA=AE+PE=6+5=11，
所以，PA的值为1或11；

（3）①如图1，由（2）可知当PA=1时，四边形PBCE是平行四边形，
PF=AF-AP=4-1=3，
在Rt△PBF中，由勾股定理得PB=

PF2+BF2

=

32+42

=5，
∴CE=BC，
∴四边形PBCE是菱形；
②如图2，由（2）可知当PA=11时，四边形PEBC是平行四边形，
EF=AE-AF=6-4=2，BF=4，
由勾股定理可得BE=

EF2+BF2

=

22+42

=

20

≠5不合题意舍去，
综上，PA=1时，以P、B、C、E为顶点的四边形能构成菱形．

点评：本题考查了梯形的知识，平行四边形的判定，直角梯形的性质，菱形的性质，难点在于要分情况讨论．