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    如图，已知直角梯形纸片OABC中，两底边OA=10，CB=8，垂直于底的腰OC=2
    		3
    ，点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点OT=t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S；
    （1）求∠OAB的度数；
    （2）求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
    （3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
    （4）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．
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    分析：（1）求∠OAB的度数，我们可根据A、B的坐标来求，根据tan∠OAB=B的纵坐标的绝对值：A、B横坐标的差的绝对值，可得出∠OAB的度数．得出的∠BAO是60°后，以及折叠得到的AT=A′T，那么三角形A′AT是等边三角形，且三边长均为10-t．求面积就要有底边和高，我们可以AA′为底边，那么PT就是高，AA′=10-t，那么关键是PT的值，已知了∠BAT的度数，我们可以用AT的长以及∠BAT的正弦函数表示出PT的长，由此可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式．此时AT即AA′的最大值为AB的长，也就是4，因此AT的取值范围是0＜AT≤4，那么t的取值范围就是6≤t＜10；
    （2）当重叠部分是四边形时，那么此时A′应该在AB的延长线上，那么此时AA′的最小值应该是AB的长即4，最大的值应该是当P与B重合时AA′的值即8，由于三角形ATA′是个等边三角形，那么AT的取值范围就是4＜AT＜8，那么t的取值就应是2＜t＜6；
    （3）可分成三种情况进行讨论：
    ①当A′在AB上时，即当6≤t＜10时，可根据（1）的函数来求出此时S的最大值；
    ②当A′在AB延长线上但P在AB上时，即当2≤t＜6时，此时重合部分的面积=三角形AA′T的面积-上面的小三角形的面积，根据AT和AB的长，我们可得出A′B的长，然后按（1）的方法即可得出上面的小三角形的面积，也就可以求出重合部分的面积；
    ③当A′在AB延长线上且P也在AB延长线上时，即当0＜t＜2时，重合部分的面积就是三角形EFT的面积（其中E是TA′与CB的交点，F是TA与CB的交点）那么关键是求出BF，BE的值，知道了AT的长，也就知道了AP，A′P的长，根据AB=4我们不难得出BP的长，有了BP的长就可以求出A′B，BE的长，在直角三角形BPE中，可根据∠PBF的度数，和BP的长，来表示出BF的长，这样我们就能表示出EF的长了，又知道EF边上的高是OC的长，因此可根据三角形的面积来求出S的值．
    然后综合三种情况判断出是否有S的最大值．
    解答：解：（1）∵两底边OA=10，CB=8，垂直于底的腰OC=2
    		3
    ，
    ∴tan∠OAB=
    2
    		3
    10-8
    =
    		3
    ，
    ∴∠OAB=60°．

    （2）当点A′在线段AB上时，
    ∵∠OAB=60°，TA=TA′，
    ∴△A′TA是等边三角形，且TP⊥TA′，
    ∴TP=（10-t）sin60°=
    		3
    2
    （10-t），A′P=AP=
    1
    2
    AT=
    1
    2
    （10-t），
    ∴S=S△ATP=
    1
    2
    A′P•TP=
    		3
    8
    （10-t）2，
    当A′与B重合时，AT=AB=4，
    所以此时6≤t＜10；

    （3）当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB（不与B重合）上时，
    纸片重叠部分的图形是四边形（如图①，其中E是TA′与CB的交点），
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    当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是（2，0），
    又由（1）中求得当A?与B重合时，T的坐标是（6，0），
    所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜t＜6；
    （4）S存在最大值．
    ①当6≤t＜10时，S=
    		3
    8
    （10-t）2，
    在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
    ∴当t=6时，S的值最大是2
    		3
    ；
    ②当2≤t＜6时，由图①、图②，重叠部分的面积S=S△A′TP-S△A′EB，
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    ∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
    ∴S=
    		3
    8
    （10-t）2-
    1
    2
    （10-t-4）2×
    		3
    2
    =
    		3
    8
    （-t2+4t+28）=-
    		3
    8
    （t-2）2+4
    		3
    ，
    当t=2时，S的值最大是4
    		3
    ；
    ③当0＜t＜2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线是（如图②，其中E是TA?与CB的交点，F是TP与CB的交点），
    ∵∠EFT=∠FTP=∠ETF，四边形ETAB是等腰梯形，
    ∴EF=ET=AB=4，
    ∴S=
    1
    2
    EF•OC=
    1
    2
    ×4×2
    		3
    =4
    		3
    ．
    综上所述，S的最大值是4
    		3
    ，此时t的值是0＜t≤2．
    点评：这是试卷的压轴题，考查知识点较多，是代数与几何结合的综合题，其中有分类思想的渗透．
    主要问题是在解题中计算三角形面积时没有除以2，或分类情况不全面，或对于取值范围的处理不到位．特别是认为只存在一个t的值使得面积最大，导致失分较多．更多是缺乏对复杂问题的分析能力，导致不会做．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸，“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a．
    （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
    第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B'处，铺平后得折痕AE；
    第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．
    则AD：AB的值是
     
    ，AD，AB的长分别是
     
    ，
     
    ；
    （2）“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；
    （3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；
    （4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M=90°，MN=MQ=2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．
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    科目：初中数学 来源：2008年浙江省宁波市初中毕业升学统一考试、数学试卷 题型：044

    如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a．

    (1)如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：

    第一步　将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；

    第二步　将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD：AB的值是________，AD、AB的长分别是________，________．

    (2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．

    (3)如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E、F、G、H．

    分别在“16开”纸的边AB、BC、CD、DA上，求DG的长．

    (4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M、N、P、Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸，“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a．
    （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
    第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B'处，铺平后得折痕AE；
    第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．
    则AD：AB的值是______，AD，AB的长分别是______，______；
    （2）“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；
    （3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；
    （4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M=90°，MN=MQ=2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

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