【题目】(问题提出):有同样大小正方形256个,拼成如图1所示的的一个大的正方形.请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话,最多可以穿过多少个小正方形?
(问题探究):我们先考虑以下简单的情况:一条直线穿越一个正方形的情况.(如图2)
从图中我们可以看出,当一条直线穿过一个小正方形时,这条直线最多与正方形上、下、左、右四条边中的两个边相交,所以当一条直线穿过一个小正方形时,这条直线会与其中某两条边产生两个交点,并且以两个交点为顶点的线段会全部落在小正方形内.
这就启发我们:为了求出直线最多穿过多少个小正方形,我们可以转而去考虑当直线穿越由小正方形拼成的大正方形时最多会产生多少个交点.然后由交点数去确定有多少根小线段,进而通过线段的根数确定下正方形的个数.
再让我们来考虑正方形的情况(如图3):
为了让直线穿越更多的小正方形,我们不妨假设直线右上方至左下方穿过一个的正方形,我们从两个方向来分析直线穿过正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的两条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的四条线段;这样直线最多可穿过的大正方形中的六条线段,从而直线上会产生6个交点,这6个交点之间的5条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线最多能经过5个小正方形.
(问题解决):
(1)有同样大小的小正方形16个,拼成如图4所示的的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的话,最多可以穿过_________个小正方形.
(2)有同样大小的小正方形256个,拼成的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的话,最多可以穿过___________个小正方形.
(3)如果用一条直线穿过的大正方形的话,最多可以穿过___________个小正方形.
(问题拓展):
(4)如果用一条直线穿过的大长方形的话(如图5),最多可以穿过个___________小正方形.
(5)如果用一条直线穿过的大长方形的话(如图6),最多可以穿过___________个小正方形.
(6)如果用一条直线穿过的大长方形的话,最多可以穿过________个小正方形.
(类比探究):
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间,平面中的正方形中四条边可联想到正方体中的正方形的六个面,类比上面问题解决的方法解决如下问题:
(7)如图7有同样大小的小正方体8个,拼成如图所示的的一个大的正方体.如果用一条直线穿过这个大正方体的话,最多可以穿过___________个小正方体.
(8)如果用一条直线穿过的大正方体的话,最多可以穿过_________个小正方体.
【答案】(1)7;(2)31;(3);(4)4;(5)6 ;(6);(7)4;(8)
【解析】
(1)为了让直线穿越更多的小正方形,我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个4×4的正方形,我们从两个方向来分析直线l穿过4×4正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的3条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的5条线段;这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的8条线段,从而直线L上会产生8个交点,这8个交点之间的7条线段,这样就不难得到答案.
(2)应用规律2n-1得到答案.
(3)应用规律2n-1得到答案.
(4)应用规律2n-1得到答案.
(5)我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个2×3的正方形,我们从两个方向来分析直线l穿过2×3正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的1条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的4条线段;这样直线L最多可穿过2×3的大正方形中的5条线段,从而直线L上会产生5个交点,这5个交点之间的4条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线L最多能经过4个小正方形.
(6)不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个3×4的正方形,我们从两个方向来分析直线l穿过3×4正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的2条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的5条线段;这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的7条线段,从而直线L上会产生7个交点,这7个交点之间的6条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线L最多能经过6个小正方形.
(7)不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个m×n的正方形,我们从两个方向来分析直线l穿过m×n正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的(m-1)条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的(n+1)条线段;这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的(m+n)条线段,从而直线L上会产生(m+n)个交点,这m+n个交点之间的(m+n-1)条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线L最多能经过(m+n-1)个小正方形.
(8)用类似的方法得到规律:3n-2.即可解决.
(9)根据规律3n-2得到答案.
(1)再让我们来考虑4×4正方形的情况(如图4):为了让直线穿越更多的小正方形,我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个4×4的正方形,我们从两个方向来分析直线l穿过4×4正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的3条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的5条线段;这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的8条线段,从而直线L上会产生8个交点,这8个交点之间的7条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线L最多能经过7个小正方形.
故答案为7
(2)我们发现直线穿越1×1正方形时最多经过1个正方形,直线穿越2×2正方形时最多经过3个正方形,直线穿越3×3正方形时最多经过5个正方形,
直线穿越4×4正方形时最多经过7个正方形,…直线穿越n×n正方形时最多经过2n-1个正方形.
∴直线穿越10×10正方形时最多经过19个正方形.
故答案为19.
(3)由(2)可知,有2×16-1=31个正方形,
故答案为31.
(4)由(2)可知有2n-1个正方形.
故答案为2n-1.
(5)为了让直线穿越更多的小正方形,我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个2×3的正方形,我们从两个方向来分析直线l穿过2×3正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的1条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的4条线段;这样直线L最多可穿过2×3的大正方形中的5条线段,从而直线L上会产生5个交点,这5个交点之间的4条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线L最多能经过4个小正方形,
故答案为4.
(6)为了让直线穿越更多的小正方形,我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个3×4的正方形,我们从两个方向来分析直线l穿过3×4正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的2条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的5条线段;这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的7条线段,从而直线L上会产生7个交点,这7个交点之间的6条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线L最多能经过6个小正方形.
故答案为6.
(7)为了让直线穿越更多的小正方形,我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个m×n的正方形,我们从两个方向来分析直线l穿过m×n正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的(m-1)条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的(n+1)条线段;这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的(m+n)条线段,从而直线L上会产生(m+n)个交点,这m+n个交点之间的(m+n-1)条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线L最多能经过(m+n-1)个小正方形,
故答案为(m+n-1).
(8)用类似的方法可以得到:用一条直线穿过1×1×1正方体的话,最多可以穿过1个小正方体,用一条直线穿过,2×2×2正方体的话,最多可以穿过4个小正方体,用一条直线穿过,3×3×3正方体的话,最多可以穿过7个小正方体,用一条直线穿过4×4×4正方体的话,最多可以穿过10个小正方体,…用一条直线穿过,n×n×n正方体的话,最多可以穿过(3n-2)个小正方体.
故答案为4.
(9)由(8)可知有(3n-2)个正方形,
故答案为(3n-2).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】疫情后复学,某校为了了解九年级线上教学期间学生知识掌握情况,举行了线上教学质量调研测试,张老师根据测试结果,对本班部分学生进行了分析,他将结果分为四类,:优秀;:良好;:合格;:不合格,并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)张老师一共调查了_________名同学;
(2)类所占扇形圆心角的度数是_________;
(3)将上面条形统计图补充完整;
(4)为了共同进步,张老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好都是女同学的概率.
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【题目】在防疫新冠状病毒期间,市民对医用口罩的需求越来越大.某药店第一次用元购进医用口罩若干个,第二次又用元购进该款口罩,但第二次每个口罩的进价是第一次进价的倍,购进的数量比第一次少个.
(1)求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个?
(2)药店第一次购进口罩后,先以每个元的价格出售,卖出了个后购进第二批同款口罩,由于进价提高了,药店将口罩的售价也提升至每个元继续销售卖出了个后,因当地医院医疗物资紧缺,将其已获得口罩销售收入元和剩余全部的口罩捐赠给了医院.求药店捐赠口罩至少有多少个?
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【题目】甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次,每次射靶的成绩情况如图所示:
(1)请你根据图中的数据填写下表:
姓名 | 平均数 | 众数 |
甲 | 7 | |
乙 | 6 |
(2)请通过计算方差,说明谁的成绩更稳定.
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【题目】如图,在正方形中,是边上的动点(与点、不重合),且,于点,与的延长线交于点,连接、.
(1)求证:①;②;
(2)若,在点运动过程中,探究:
①线段的长度是否改变?若不变,求出这个定值;若改变,请说明理由;
②当为何值时,为等腰直角三角形.
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【题目】如图1,已知正方形ABCD,E是线段BC上一点,N是线段BC延长线上一点,以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证;
(2)连接FC,求的值;
(3)如图2,将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD,,,E是线段BC上一动点(不含端点B,C),以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.当点E由B向C运动时,判断的值是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
图1 图2
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【题目】如图,一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C.已知tan∠BOC=,点B的坐标为(m,n).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)请直接写出当x<m时,y2的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点、,动点以每秒2个单位长度的速度从点向终点运动,过点作,交直线于点.设,将绕点顺时针旋转得到线段,连接.设四边形与的重叠部分面积为(平方单位),,点的运动时间为秒.
(1)求的长;
(2)求证:四边形是平行四边形;
(3)求与的函数关系式,并直接写出自变量取值范围.
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