Question

如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．

Answer 1

解：（1）∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，
∴F为AD的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BC；

（2）∵EF为△ABD的中位线，
∴，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∵S_△AEF：S_△ABD=1：4，
∴S_△AEF：S_{四边形BDEF}=1：3，
∵四边形BDFE的面积为6，
∴S_△AEF=2，
∴S_△ABD=S_△AEF+S_{四边形BDEF}=2+6=8．
分析：（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，利用中位线的定理证得到平行即可；
（2）根据上题证得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的△ABD的面积．
点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S_△AEF：S_△ABD=1：4．